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Grundwissen

Induktion durch Änderung der magnetischen Feldstärke

Das Wichtigste auf einen Blick

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die Richtung des magnetischen Feldstärkevektors \(\vec B\) des homogenen magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächenvektor \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) ist damit ebenfalls konstant.

Wenn sich die magnetische Feldstärke \(B\) mit der Änderungsrate \(\frac{dB}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch \(U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)\).

Aufgaben Aufgaben

Die Simulation in Abb. 1 zeigt dir eine Leiterschleife, die sich vollständig in einem homogenen magnetischen Feld, beschrieben durch den Feldstärkevektor \(\vec B\), befindet. Die Leiterschleife ist stets so gerichtet, dass der Flächenvektor \(\vec A\) parallel zum Feldstärkevektor \(\vec B\) liegt. Damit gilt für die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Feldstärkevektor und Flächenvektor hier \(\varphi = 0\).

Rechts von dieser Induktionsanordnung kannst du zum einen den magnetischen Fluss \(\Phi\) durch die Leiterschleife und zum anderen die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) in der Leiterschleife beobachten.

Mit dem Schieberegler am oberen Rand der Simulation kannst du die Feldstärke \(B\) des magnetischen Feldes in bestimmten Grenzen verändern.

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Abb. 1 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch die Änderung der magnetischen Feldstärke \(B\)

Wie auch in den bisherigen Versuchen und Simulationen zur elektromagnetischen Induktion kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du die Feldstärke \(B\) veränderst, dann verändert sich der magnetische Fluss \(\Phi\).

  • Wenn sich der magnetische Fluss \(\Phi\) verändert, dann verursacht dies eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Weiter kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du die Feldstärke \(B\) und damit den magnetischen Fluss \(\Phi\) vergrößerst , dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) negativ.

  • Wenn du die Feldstärke \(B\) und damit den magnetischen Fluss \(\Phi\) verkleinerst , dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) positiv.

Sowohl durch die Auswertung geeigneter Experimente als auch durch theoretische Überlegungen (vgl. die Links am Ende des Artikels) erhalten wir folgendes quantitatives Ergebnis:

Induktion durch Änderung der magnetischen Feldstärke

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die Richtung des magnetischen Feldstärkevektors \(\vec B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächenvektor \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) ist damit ebenfalls konstant.

Wenn sich die magnetische Feldstärke \(B\) mit der Änderungsrate \(\frac{dB}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right) \quad (1)\]Für den häufigen Fall \(\varphi = 0\) ergibt sich hieraus\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A \quad (1^*)\]Wenn sich also die magnetische Feldstärke vergrößert, dann ist die Induktionsspannung negativ, wenn sich die magnetische Feldstärke verkleinert, dann ist die Induktionsspannung positiv.

Sonderfall: Die magnetische Feldstärke verändert sich harmonisch wie z.B. bei einem Transformator

Die häufigste Anwendung der Induktion durch Änderung der magnetischen Feldstärke ist der Transformator. Schließt man an die Primärspule die übliche Wechselspannung mit \(U\left( t \right) = \hat U \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) an, dann ändert sich die Stromstärke \(I\left( t \right)\) und damit auch die magnetische Feldstärke \(B\left( t \right)\) entsprechend harmonisch. In der Simulation in Abb. 2 ist diese Situation dargestellt.

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Abb. 2 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\), wenn sich die Feldstärke eines magnetischen Feldes harmonisch verändert

Du kannst folgendes beobachten:

  • Die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) verändert sich harmonisch.

  • Wenn sich die magnetische Feldstärke vergrößert, dann  vergrößert sich der magnetische Fluss \(\Phi\), und dies verursacht eine negative Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

  • Wenn sich die magnetische Feldstärke verkleinert, dann verkleinert sich der magnetische Fluss \(\Phi\), und dies verursacht eine positive Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

  • Ist die magnetische Feldstärke maximal oder minimal, dann ist die Induktionsspannung \(0\).

  • Ist die magnetische Feldstärke \(0\), dann ist die Induktionsspannung maximal oder minimal.

  • Die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) ist also um \(\frac{\pi}{2}\) phasenverschoben zur magnetischen Feldstärke \(B\).

Verändert sich die magnetische Feldstärke \(B\) harmonisch mit der Kreisfrequenz \(\omega\), d.h. \(B\left( t \right) = \hat B \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\), dann ergibt sich aus Gleichung \((1^*)\) und der Anwendung der Kettenregel\[\begin{eqnarray}U_{\rm{i}}\left( t \right) &=& - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A\\ &=& - N \cdot \frac{{d\left( {\hat B \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)}}{dt} \cdot A\\ &=& - N \cdot \hat B \cdot \left( { - \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \omega } \right) \cdot A\\ &=& N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:

Induktion bei harmonischer Änderung der magnetischen Feldstärke

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die Richtung des magnetischen Feldstärkevektors \(\vec B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächenvektor \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldstärkvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) hat den Wert \(\varphi=0\).

Wenn sich die magnetische Feldstärke mit der Kreisfrequenz \(\omega\) harmonisch verändert, d.h. \(B\left( t \right) = \hat B \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\), dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \cdot \sin\left(\omega  \cdot t\right) \quad (2)\]Die Amplitude \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung berechnet sich dann durch\[\hat U_{\rm{i}} =  N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \quad (2^*)\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben rund um diesen Sonderfall zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\hat U_{\rm{i}} = N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\]ist bereits nach \(\color{Red}{\hat U_{\rm{i}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{N}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}}{ {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\).\[\color{Red}{N} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{N}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{\hat B}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\omega} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\omega} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}}{ {N} \cdot {\omega} \cdot {A}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\omega} \cdot {A}\).\[\color{Red}{\hat B} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\hat B}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{\omega} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{\omega}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{\omega} \cdot {A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{\omega} \cdot {A}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}\).\[\color{Red}{\omega} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\omega}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot \color{Red}{A}\]nach \(\color{Red}{A}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot \color{Red}{A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot \color{Red}{A}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}\).\[\color{Red}{A} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{A}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der Amplitude der Induktionsspannung bei Änderung der magnetischen Feldstärke nach den fünf in der Formel auftretenden Größen