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Grundwissen

Induktion durch Änderung der magnetischen Flussdichte

Das Wichtigste auf einen Blick

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die Richtung des magnetischen Feldvektors \(\vec B\) des homogenen magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächenvektor \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) ist damit ebenfalls konstant.

Wenn sich die magnetische Flussdichte \(B\) mit der Änderungsrate \(\frac{dB}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch \(U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)\).

Aufgaben Aufgaben

Die Simulation in Abb. 1 zeigt dir eine Leiterschleife, die sich vollständig in einem homogenen magnetischen Feld, beschrieben durch den Feldvektor \(\vec B\), befindet. Die Leiterschleife ist stets so gerichtet, dass der Flächenvektor \(\vec A\) parallel zum Feldvektor \(\vec B\) liegt. Damit gilt für die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Feldvektor und Flächenvektor hier \(\varphi = 0\).

Rechts von dieser Induktionsanordnung kannst du zum einen den magnetischen Fluss \(\Phi\) durch die Leiterschleife und zum anderen die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) in der Leiterschleife beobachten.

Mit dem Schieberegler am oberen Rand der Simulation kannst du die Flussdichte \(B\) des magnetischen Feldes in bestimmten Grenzen verändern.

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Abb. 1 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) durch die Änderung der magnetischen Flussdichte \(B\)

Wie auch in den bisherigen Versuchen und Simulationen zur elektromagnetischen Induktion kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du die Flussdichte \(B\) veränderst, dann verändert sich der magnetische Fluss \(\Phi\).

  • Wenn sich der magnetische Fluss \(\Phi\) verändert, dann verursacht dies eine Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

Weiter kannst du folgendes beobachten:

  • Wenn du die Flussdichte \(B\) und damit den magnetischen Fluss \(\Phi\) vergrößerst , dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) negativ.

  • Wenn du die Flussdichte \(B\) und damit den magnetischen Fluss \(\Phi\) verkleinerst , dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) positiv.

Sowohl durch die Auswertung geeigneter Experimente (vgl. den Link am Ende des Artikels) als auch durch theoretische Überlegungen erhalten wir folgendes quantitatives Ergebnis:

Induktion durch Änderung der magnetischen Flussdichte

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die Richtung des magnetischen Feldvektors \(\vec B\) des homogenen magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächenvektor \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) ist damit ebenfalls konstant.

Wenn sich die magnetische Flussdichte \(B\) mit der Änderungsrate \(\frac{dB}{dt}\) ändert, dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\left(t\right)\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right) \quad (1)\]Wenn sich also die magnetische Flussdichte vergrößert, dann ist die Induktionsspannung negativ, wenn sich die magnetische Flussdichte verkleinert, dann ist die Induktionsspannung positiv.

In Aufgaben hat man häufig den Fall, dass

  • die Leiterschleife senkrecht vom magnetischen Feld durchsetzt wird und damit für die Winkelweite \(\varphi = 0\) gilt.
  • die magnetische Flussdichte \(B\) in einer Zeitspanne \(\Delta t\) um den Wert \(\Delta B\) linear ansteigt oder abfällt

Dann ist die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) konstant und sie berechnet sich durch\[U_{\rm{i}} =  - N \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot A \quad (1^*)\]

Sonderfall: Die magnetische Flussdichte verändert sich harmonisch wie z.B. bei einem Transformator

Die häufigste Anwendung der Induktion durch Änderung der magnetischen Flussdichte ist der Transformator. Schließt man an die Primärspule die übliche Wechselspannung mit \(U\left( t \right) = \hat U \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) an, dann ändert sich die Stromstärke \(I\left( t \right)\) und damit auch die magnetische Flussdichte \(B\left( t \right)\) ebenfalls harmonisch. In der Simulation in Abb. 2 ist diese Situation dargestellt.

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Abb. 2 Veränderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) und damit Entstehung einer Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\), wenn sich die Flussdichte eines magnetischen Feldes harmonisch verändert

Du kannst folgendes beobachten:

  • Die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) verändert sich harmonisch.

  • Wenn sich die magnetische Flussdichte vergrößert, dann  vergrößert sich der magnetische Fluss \(\Phi\), und dies verursacht eine negative Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

  • Wenn sich die magnetische Flussdichte verkleinert, dann verkleinert sich der magnetische Fluss \(\Phi\), und dies verursacht eine positive Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\).

  • Ist die magnetische Flussdichte maximal oder minimal, dann ist die Induktionsspannung \(0\).

  • Ist die magnetische Flussdichte \(0\), dann ist die Induktionsspannung maximal oder minimal.

  • Die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) ist also um \(\frac{\pi}{2}\) phasenverschoben zur magnetischen Flussdichte \(B\).

Verändert sich die magnetische Flussdichte \(B\) harmonisch mit der Kreisfrequenz \(\omega\), d.h. \(B\left( t \right) = \hat B \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\), dann ergibt sich aus Gleichung \((1^*)\) und der Anwendung der Kettenregel\[\begin{eqnarray}U_{\rm{i}}\left( t \right) &=& - N \cdot \frac{dB}{dt} \cdot A\\ &=& - N \cdot \frac{{d\left( {\hat B \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)}}{dt} \cdot A\\ &=& - N \cdot \hat B \cdot \left( { - \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \omega } \right) \cdot A\\ &=& N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:

Induktion bei harmonischer Änderung der magnetischen Flussdichte

In einer Induktionsanordnung gelten folgende Bedingungen:

  • die Richtung des magnetischen Feldvektors \(\vec B\) des homogenenden magnetischen Feldes ist konstant
  • der Flächenvektor \(\vec A\) der (Teil-)Fläche der Leiterschleife oder der Spule mit Windungszahl \(N\), die sich im magnetischen Feld befindet, ist konstant
  • die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen dem Feldvektor \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) hat den Wert \(\varphi=0\).

Wenn sich die magnetische Flussdichte mit der Kreisfrequenz \(\omega\) harmonisch verändert, d.h. \(B\left( t \right) = \hat B \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\), dann berechnet sich die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\left(t\right)\) durch\[U_{\rm{i}}\left(t\right) =  N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \cdot \sin\left(\omega  \cdot t\right) \quad (2)\]Die Amplitude \(\hat U_{\rm{i}}\) der Induktionsspannung berechnet sich dann durch\[\hat U_{\rm{i}} =  N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \quad (2^*)\]