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Aufgabe

Unipolar-Motor

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)Bewegt man einen Metallstab der Länge l in bestimmter Weise in einem konstanten und homogenen Magnetfeld B, dann entsteht zwischen den Stabenden die Induktionsspannung Uind = B·l·vs.

Leiten Sie anhand einer Skizze die obige Beziehung aus der Voraussetzung her, dass ein im Magnetfeld bewegtes Elektron die Lorentzkraft FL = B·e·vs erfährt.

b)Zur Ausmessung eines homogenen und konstanten Magnetfeldes kann die nebenstehend skizzierte Versuchsanordnung dienen:

Eine kreisförmige Plexiglasscheibe trägt am Rand einen schmalen Kupferring KR mit einer radialen Kupferlamelle L. Die Scheibe dreht sich gleichförmig um eine zur Feldrichtung parallele Metallachse durch M mit der Drehfrequenz n. Die Länge der Kupferlamelle ist näherungsweise gleich dem Radius r des Kupferrings. Mit einem sehr hochohmigen Voltmeter kann man über Schleifkontakte K1 und K2 zwischen Drehachse und dem Kupferring eine Induktionsspannung nachweisen.

Geben Sie die Polarität dieser Induktionsspannung an.

Leiten Sie mit Hilfe des Induktionsgesetzes einen Ausdruck für die induzierte Spannung Uind in Abhängigkeit von den gegebenen Größen her.

Der Radius des Kupferrings beträgt r = 20cm. Bei der Drehfrequenz n = 20Hz misst man die Induktionsspannung Uind =250mV.

Berechnen Sie aus diesen Daten die magnetische Flussdichte B in Tesla.

c)Nun wird durch Schließen des Schalters S der ohmsche Widerstand R = 20Ω in den Induktionsstromkreis eingeschaltet. Die stromdurchflossene Kupferlamelle erfährt nun im Magnetfeld eine Kraft, welche die Rotationsbewegung der Scheibe bremst.

Zeigen Sie, dass der Angriffspunkt dieser Kraft in der Mitte der Lamelle liegt (in der Entfernung 0,5·r von der Drehachse M), und leiten Sie für den Betrag dieser Kraft die Beziehung her:\[F = n \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot \frac{{{B^2}}}{R}\]Berechnen Sie diese Kraft in mN.

Um die gleichförmige Rotationsbewegung der Scheibe im Magnetfeld aufrechtzuerhalten, muss man demnach auch bei vernachlässigbarer mechanischer Reibung eine mechanische Leistung aufbringen.

Berechnen Sie für die Drehzahl n = 20Hz diese mechanische Leistung P.

d)Nun werde die rotierende Plexiglasscheibe mit Kupferring durch eine gleich große massive Kupferscheibe ersetzt.

Untersuchen Sie, ob sich dadurch die Ergebnisse beim Versuch gemäß Teilaufgabe a) ändern.

e)Die Vorrichtung mit massiver Kupferscheibe kann nun in Umkehrung des in a) beschriebenen Versuchs als "Unipolarmotor" betrieben werden, wenn man zwischen Achse und Rand von außen eine konstante Gleichspannung anlegt. Der Wirkungsgrad ist gleich dem Verhältnis der an der Achse abnehmbaren mechanischen Nutzleistung zu der zugeführten elektrischen Leistung.

Geben Sie - ohne Rechnung - eine Begründung, weshalb dieser Wirkungsgrad sehr klein ist.

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a)Man denke sich ein Leiterstück der wirksamen Länge l mit der Geschwindigkeit\[{v_s} = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\]auf zwei parallelen Metallschienen senkrecht zum zeitlich konstanten Magnetfeld B nach rechts bewegt. Das Magnetfeld sei homogen. Die Elektronen im Leiterstück werden dabei nach rechts mitgenommen. Diese Elektronenbewegung ist im Blick auf die Lorentzkraft der Bewegung positiver Ladungen nach links gleichwertig. Folglich erfährt jedes bewegte Elektron eine Lorentzkraft nach unten. Für den Betrag dieser Kraft gilt\[{F_L} = e \cdot {v_s} \cdot B\]Oben entsteht Elektronenmangel, unten Elektronenüberschuss. Im Leiterstück wird zwischen den Schienen ein elektrisches Feld aufgebaut. Man misst die Spannung Ui = E·l. Gleichzeitig wirkt auf jedes Elektron die elektrische Feldkraft Fel = e·E nach oben. Nach sehr kurzer Zeit stellt sich ein Kräftegleichgewicht ein\[{F_{el}} = {F_L} \Rightarrow e \cdot \frac{{{U_{ind}}}}{l} = e \cdot {v_s} \cdot B \Rightarrow {U_{ind}} = B \cdot l \cdot {v_s}\]

 

b)Durch Vergleich mit der Lösung von Teilaufgabe a) ergibt sich: Der Ring wird positiv, die Achse negativ aufgeladen. Nach dem Induktionsgesetz in differentieller Form gilt\[{U_{ind}} =  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} =  - 1 \cdot {\rm B} \cdot \frac{{dA}}{{dt}} =  - {\rm B} \cdot \frac{{d\left( {{\textstyle{{{r^2} \cdot \pi } \over T}} \cdot t} \right)}}{{dt}} =  - {\rm B} \cdot \frac{{{r^2} \cdot \pi }}{T} =  - n \cdot {\rm B} \cdot {r^2} \cdot \pi \]

\[B = \frac{{\left| {{U_{ind}}} \right|}}{{n \cdot \pi  \cdot {r^2}}} \Rightarrow B = \frac{{0,250}}{{20 \cdot \pi  \cdot 0,2{0^2}}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \approx 0,10\,{\rm{T}}\]

c)Für die Bremskraft auf die stromdurchflossene Lamelle im homogenen Magnetfeld gilt: Fm = B·Iind·r. Da die Stromstärke längs der stabförmigen Lamelle an jeder Stelle gleich ist, sind die Teilkräfte bezogen auf die Längeneinheit gleich groß. Aus Symmetriegründen greift die resultierende Kraft in der Mitte an. Für den Induktionsstrom gilt\[{I_{ind}} = \frac{{\left| {{U_{ind}}} \right|}}{R}\]Mit den Ergebnissen der vorangegangenen Aufgabe\[{I_{ind}} = \frac{{\left| {B \cdot {r^2} \cdot \pi  \cdot n} \right|}}{R}\]Somit ergibt sich für die magnetische Kraft\[{F_m} = B \cdot {I_{ind}} \cdot r = B \cdot \frac{{\left| {B \cdot {r^2} \cdot \pi  \cdot n} \right|}}{R} \cdot r = n \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot \frac{{{B^2}}}{R}\]Setzt man die Zahlenwerte ein, so ergibt sich F = 2,5 mN.

Für die Leistung gilt\[P = \frac{{\Delta W}}{{\Delta t}}\]Betrachtet wird eine Umdrehung, so dass gilt: Δt = T = 1/n. Für die Arbeit gilt bei konstanter Kraft: "Kraft mal Weg". Da die Kraft bei der Lamellenmitte angreift, gilt für den Weg bei einer Umdrehung\[\Delta s = 2 \cdot \pi  \cdot \frac{r}{2} = \pi  \cdot r\]Somit ergibt sich für die Leistung\[P = \frac{{{F_m} \cdot \Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{{F_m} \cdot \pi  \cdot r}}{{{\textstyle{1 \over n}}}} = n \cdot {F_m} \cdot \pi  \cdot r \Rightarrow P = 20 \cdot 2,5 \cdot {10^{ - 3}} \cdot \pi  \cdot 0,20\,{\rm{W}} \approx 31\,{\rm{mW}}\]

d)Man kann die Kupferscheibe als Bündel radial verlaufender parallelgeschalteter Stäbe auffassen, wobei dem Umfang entlang praktisch keine Spannung abfällt. Die Induktionsspannung ändert sich demnach nicht und auch nicht das Messergebnis für die magnetische Flussdichte.

e)Neben den Reibungsverlusten durch den Schleifkontakt (vor allem am Radumfang) treten Verluste durch die Erwärmung der Kupferscheibe auf.