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Aufgabe

Standardaufgabe zur Induktion durch Änderung der magnetischen Flussdichte

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zum Aufbau

Ein Elektromagnet mit quadratischem Querschnitt mit der Seitenlänge \(10\,\rm{cm}\) erzeugt unmittelbar vor seinem Nordpol ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(B\). Ein quadratischer Drahtrahmen mit der Seitenlänge \(10\,\rm{cm}\) wird mit der Hälfte seiner Fläche vom Magnetfeld senkrecht durchsetzt. Der Aufbau ist in Abb. 1 skizziert.

Zuerst ist die Leiterschleife zwischen den Punkten \(\rm{P}_1\) und \(\rm{P}_2\) offen.

Die magnetische Flussdichte \(B\) steigt in \(5{,}0\,\rm{s}\) linear von \(0{,}50\,\rm{T}\) auf \(1{,}00\,\rm{T}\) an.

a)

Gib begründet die Polung am Punkt \(\rm{P}_1\) während des Anstiegs an.

Berechne den Wert der Induktionsspannung während des Anstiegs.

Stelle den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung während des Anstiegs in einem Diagramm dar.

Nun wird die Leiterschleife, die einen OHMschen Widerstand von \(0{,}010\,\Omega\) hat, zwischen den Punkten \(\rm{P}_1\) und \(\rm{P}_2\) kurzgeschlossen.

Die magnetische Flussdichte \(B\) steigt erneut in \(5{,}0\,\rm{s}\) linear von \(0{,}50\,\rm{T}\) auf \(1{,}00\,\rm{T}\) an.

b)

Berechne die Stärke des Stroms, der während des Anstiegs durch die Leiterschleife fließt.

Interpretiere das Minuszeichen im Ergebnis.

c)

Gib begründet die Richtung der resultierenden Kraft an, die während des Anstiegs auf die Leiterschleife wirkt.

Berechne den Betrag dieser resultierenden Kraft am Ende des Anstiegs.

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a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Erklärung der Polung am Punkt \(\rm{P}_1\) während des Anstiegs

Die Skizze in Abb. 2 hilft bei der Erklärung der Polung während des Anstiegs.

  • Mit Hilfe der zweiten Rechte-Faust-Regel zur Bestimmung der Orientierung des Magnetfeldes einer stromdurchflossenen Zylinderspule (Handfläche in elektrische Stromrichtung in der Spule, Daumen in Magnetfeldrichtung) bestimmt man aus der Richtung des Magnetfeldes der Spule die technische Stromrichtung in der Spule; diese verläuft in dieser Ansicht gegen den Uhrzeigersinn (roter Pfeil in Abb. 2).

  • Alle Messgeräte wie z.B. ein Strommesser in der Spule müssen so geschaltet werden, dass der technische Strom vom Pluspol zum Minuspol durch das Messgerät läuft. Ein Spannungsmesser in der Leiterschleife muss mit der gleichen Polung wie der Strommesser geschaltet werden; der Pluspol also bei \(\rm{P}_1\) und der Minuspol bei \(\rm{P}_2\).

  • Da sich der magnetische Fluss beim Anstieg der magnetischen Flussdichte vergrößert, ist nach dem Induktionsgesetz die Induktionsspannung negativ. Dies bedeutet, dass  die Polung der Induktionsspannung entgegengesetzt zur Polung des Spannungsmessers ist: der Pluspol des Spannungsmessers / am Punkt \(\rm{P}_1\) hat also negative Polung.

Da hier die magnetische Flussdichte linear mit der Zeit ansteigt und die Leiterschleife dauerhaft senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt wird, nutzen wir aus dem Grundwissen die Formel \((1^*)\) zur Berechnung der Induktionsspannung\[U_{\rm{i}} = - N \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot A\]Gegeben:

  • Die Windungszahl \(N\) hat bei einer Leiterschleife mit nur einer Windung den Wert \(N=1\).
  • Der Inhalt \(A\) der Fläche, die vom Magnetfeld durchsetzt wird, bleibt konstant und hat - da nur die Hälfte der Leiterschleife vom Magnetfeld durchsetzt wird - den Wert \(A=\frac{1}{2}\cdot \left(10\,\rm{cm}\right)^2=50\,\rm{cm}^2=50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\).
  • Die Zeitspanne \(\Delta t\), in der die magnetische Flussdichte ansteigt, hat den Wert \(\Delta t=5{,}0\,\rm{s}\)
  • Die Änderung \(\Delta B\) der magnetischen Flussdichte in der Zeitspanne \(\Delta t\) hat den Wert \(\Delta B=B(5{,}0\,\rm{s})-B(0\,\rm{s})=1{,}00\,\rm{T}-0{,}50\,\rm{T}=0{,}50\,\rm{T}\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Zeitlicher Verlauf der Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) während des Anstiegs

Damit ergibt sich für die Induktionsspanung\[U_{\rm{i}} = - 1 \cdot \frac{0{,}50\,\rm{T}}{5{,}0\,\rm{s}} \cdot 50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2=5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{V}\]Der zeitliche Verlauf der Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) während des Anstiegs ist in Abb. 3 dargestellt.

b)

Zur Berechnung der Stromstärke \(I\) in der kurzgeschlossenen Leiterschleife benutzen wir das OHMsche Gesetz\[U = R \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{U}{R}\]Gegeben:

  • Die Spannung \(U\) ist hier die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) mit dem Wert \(U=U_{\rm{i}}=- 5{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{V}}\).
  • Der Widerstand \(R\) ist der Widerstand der Leiterschleife und hat den Wert \(R=0{,}010\,\Omega\).

Damit ergibt sich für die Stromstärke in der Leiterschleife\[I = \frac{- 5{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{V}}}{0{,}010\,\Omega}=-0{,}050\,\rm{A}\]Das Minuszeichen verdeutlicht, dass der Strom in der Leiterschleife während des Anstiegs entgegengesetzt zum Strom in der Spule fließt. Da der Strom in der Spule gegen den Uhrzeigersinn fließt, fließt der Strom in der Leiterschleife also im Uhrzeigersinn.

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Skizze zur Erklärung der Kräfte auf die stromdurchflossene Leiterschleife während des Anstiegs

Aus der Skizze in Abb. 4 kann man erkennen, dass sich drei der vier Seiten der Leiterschleife im magnetischen Feld befinden. Wenn in der Leiterschleife ein Strom fließt, dann wirkt auf diese drei Seiten jeweils eine magnetische Kraft \(\vec F_{\rm{mag}}\).

Aus Aufgabenteil d) wissen wir, dass der Strom in der Leiterschleife während des Anstiegs im Uhrzeigersinn fließt. Mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand zur Bestimmung der Richtung der magnetischen Kraft (Daumen in elektrische Stromrichtung, Zeigefinger in Magnetfeldrichtung, Mittelfinger in Kraftrichtung) ergibt sich:

  • Die Kraft \(\vec F_{\rm{mag,o}}\) auf die obere Seite ist nach unten gerichtet.
  • Die Kraft \(\vec F_{\rm{mag,r}}\) auf die rechte Seite ist nach links gerichtet.
  • Die Kraft \(\vec F_{\rm{mag,u}}\) auf die untere Seite ist nach oben gerichtet.

Die beiden Kräfte \(\vec F_{\rm{mag,o}}\) und \(\vec F_{\rm{mag,u}}\) heben sich gegenseitig auf. Als resultierende Kraft \(\vec F_{\rm{res}}\) ergibt sich die nach links gerichtete Kraft \(\vec F_{\rm{mag,r}}\).

Der Betrag \(F_{\rm{res}}\) dieser resultierenden Kraft berechnet sich nach der Formel zur Berechnung des Betrags der magnetischen Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin\left(\varphi\right)\]Gegeben:

  • Die Stärke \(I\) des Stroms in der Leiterschleife hat den Wert \(I=0{,}050\,\rm{A}\).
  • Die Länge \(l\) des Leiterstücks, das sich im Magnetfeld befindet, hat den Wert \(l=10\,\rm{cm}=10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\)
  • Die magnetische Flussdichte \(B\) hat am Ende des Anstiegs den Wert \(B=1{,}00\,\rm{T}\).
  • Die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Stromrichtung und Magnetfeldrichtung hat den Wert  \(\varphi =90^\circ\) und damit \(\sin\left(\varphi\right)=1\).

Damit ergibt sich\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{{\rm{mag}}}}=0{,}050\,\rm{A} \cdot 10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m} \cdot 1{,}00\,\rm{T} \cdot 1 = 0{,}0050\,\rm{N}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion