Elektromagnetische Induktion

Joachim Herz Stiftung

Die Skizze in Abb. 2 hilft bei der Erklärung der Polung während des Anstiegs.

• Mit Hilfe der zweiten Rechte-Faust-Regel zur Bestimmung der Orientierung des Magnetfeldes einer stromdurchflossenen Zylinderspule (Handfläche in technische Stromrichtung in der Spule, Daumen in Magnetfeldrichtung) bestimmt man aus der Richtung des Magnetfeldes der Spule die technische Stromrichtung in der Spule; diese verläuft in dieser Ansicht gegen den Uhrzeigersinn (roter Pfeil in Abb. 2).

• Alle Messgeräte wie z.B. ein Strommesser in der Spule müssen so geschaltet werden, dass der technische Strom vom Pluspol zum Minuspol durch das Messgerät läuft. Ein Spannungsmesser in der Leiterschleife muss mit der gleichen Polung wie der Strommesser geschaltet werden; der Pluspol also bei \(\rm{P}_1\) und der Minuspol bei \(\rm{P}_2\).

• Da sich der magnetische Fluss beim Anstieg der magnetischen Feldstärke vergrößert, ist nach dem Induktionsgesetz die Induktionsspannung negativ. Dies bedeutet, dass  die Polung der Induktionsspannung entgegengesetzt zur Polung des Spannungsmessers ist: der Pluspol des Spannungsmessers / am Punkt \(\rm{P}_1\) hat also negative Polung.

Da hier die magnetische Feldstärke linear mit der Zeit ansteigt und die Leiterschleife dauerhaft senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt wird, nutzen wir aus dem Grundwissen die Formel \((1^*)\) zur Berechnung der Induktionsspannung\[U_{\rm{i}} = - N \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot A\]Gegeben:

• Die Windungszahl \(N\) hat bei einer Leiterschleife mit nur einer Windung den Wert \(N=1\).
• Der Inhalt \(A\) der Fläche, die vom Magnetfeld durchsetzt wird, bleibt konstant und hat - da nur die Hälfte der Leiterschleife vom Magnetfeld durchsetzt wird - den Wert \(A=\frac{1}{2}\cdot \left(10\,\rm{cm}\right)^2=50\,\rm{cm}^2=50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\).
• Die Zeitspanne \(\Delta t\), in der die magnetische Feldstärke ansteigt, hat den Wert \(\Delta t=5{,}0\,\rm{s}\)
• Die Änderung \(\Delta B\) der magnetischen Feldstärke in der Zeitspanne \(\Delta t\) hat den Wert \(\Delta B=B(5{,}0\,\rm{s})-B(0\,\rm{s})=1{,}00\,\rm{T}-0{,}50\,\rm{T}=0{,}50\,\rm{T}\)

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Damit ergibt sich für die Induktionsspanung\[U_{\rm{i}} = - 1 \cdot \frac{0{,}50\,\rm{T}}{5{,}0\,\rm{s}} \cdot 50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2=5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{V}\]Der zeitliche Verlauf der Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) während des Anstiegs ist in Abb. 3 dargestellt.

Zur Berechnung der Stromstärke \(I\) in der kurzgeschlossenen Leiterschleife benutzen wir das OHMsche Gesetz\[U = R \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{U}{R}\]Gegeben:

• Die Spannung \(U\) ist hier die Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) mit dem Wert \(U=U_{\rm{i}}=- 5{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{V}}\).
• Der Widerstand \(R\) ist der Widerstand der Leiterschleife und hat den Wert \(R=0{,}010\,\Omega\).

Damit ergibt sich für die Stromstärke in der Leiterschleife\[I = \frac{- 5{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{V}}}{0{,}010\,\Omega}=-0{,}050\,\rm{A}\]Das Minuszeichen verdeutlicht, dass der Strom in der Leiterschleife während des Anstiegs entgegengesetzt zum Strom in der Spule fließt. Da der Strom in der Spule gegen den Uhrzeigersinn fließt, fließt der Strom in der Leiterschleife also im Uhrzeigersinn.

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Aus der Skizze in Abb. 4 kann man erkennen, dass sich drei der vier Seiten der Leiterschleife im magnetischen Feld befinden. Wenn in der Leiterschleife ein Strom fließt, dann wirkt auf diese drei Seiten jeweils eine magnetische Kraft \(\vec F_{\rm{mag}}\).

Aus Aufgabenteil d) wissen wir, dass der Strom in der Leiterschleife während des Anstiegs im Uhrzeigersinn fließt. Mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand zur Bestimmung der Richtung der magnetischen Kraft (Daumen in technische Stromrichtung, Zeigefinger in Magnetfeldrichtung, Mittelfinger in Kraftrichtung) ergibt sich:

• Die Kraft \(\vec F_{\rm{mag,o}}\) auf die obere Seite ist nach unten gerichtet.
• Die Kraft \(\vec F_{\rm{mag,r}}\) auf die rechte Seite ist nach links gerichtet.
• Die Kraft \(\vec F_{\rm{mag,u}}\) auf die untere Seite ist nach oben gerichtet.

Die beiden Kräfte \(\vec F_{\rm{mag,o}}\) und \(\vec F_{\rm{mag,u}}\) heben sich gegenseitig auf. Als resultierende Kraft \(\vec F_{\rm{res}}\) ergibt sich die nach links gerichtete Kraft \(\vec F_{\rm{mag,r}}\).

Der Betrag \(F_{\rm{res}}\) dieser resultierenden Kraft berechnet sich nach der Formel zur Berechnung des Betrags der magnetischen Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin\left(\varphi\right)\]Gegeben:

• Die Stärke \(I\) des Stroms in der Leiterschleife hat den Wert \(I=0{,}050\,\rm{A}\).
• Die Länge \(l\) des Leiterstücks, das sich im Magnetfeld befindet, hat den Wert \(l=10\,\rm{cm}=10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\)
• Die magnetische Feldstärke \(B\) hat am Ende des Anstiegs den Wert \(B=1{,}00\,\rm{T}\).
• Die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Stromrichtung und Magnetfeldrichtung hat den Wert  \(\varphi =90^\circ\) und damit \(\sin\left(\varphi\right)=1\).

Damit ergibt sich\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{{\rm{mag}}}}=0{,}050\,\rm{A} \cdot 10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m} \cdot 1{,}00\,\rm{T} \cdot 1 = 0{,}0050\,\rm{N}\]