Ein Elektromagnet mit quadratischem Querschnitt mit der Seitenlänge \(10\,\rm{cm}\) erzeugt unmittelbar vor seinem Nordpol ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(B\). Ein quadratischer Drahtrahmen mit der Seitenlänge \(10\,\rm{cm}\) wird mit der Hälfte seiner Fläche vom Magnetfeld senkrecht durchsetzt. Der Aufbau ist in Abb. 1 skizziert.
Die magnetische Flussdichte \(B\) steigt in \(5{,}0\,\rm{s}\) linear von \(0{,}50\,\rm{T}\) auf \(1{,}00\,\rm{T}\) an.
a)
Berechne den magnetischen Fluss durch die Leiterschleife am Anfang und am Ende des Anstiegs.
Stelle den zeitlichen Verlauf des magnetischen Flusses während des Anstiegs in einem Diagramm dar.
b)
Begründe mit Hilfe einer Skizze der Leiterschleife mit eingebautem Spannungsmesser, warum die Induktionsspannung während des Anstiegs negativ ist.
Berechne den Wert der Induktionsspannung während des Anstiegs.
Stelle den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung während des Anstiegs in einem Diagramm dar.
c)
Erläutere den Zusammenhang zwischen den Diagrammen aus den Aufgabenteilen a) und b).
Zur Berechnung des magnetischen Flusses \(\Phi\) durch die Leiterschleife nutzen wir aus dem Grundwissen die Formel \((1)\) zur Berechnung des magnetischen Flusses\[\Phi=B \cdot A \cdot \cos\left(\varphi\right)\]Gegeben:
Der Inhalt \(A\) der Fläche, die vom Magnetfeld durchsetzt wird, bleibt konstant und hat - da nur die Hälfte der Leiterschleife vom Magnetfeld durchsetzt wird - den Wert \(A=\frac{1}{2}\cdot \left(10\,\rm{cm}\right)^2=50\,\rm{cm}^2=50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\).
Die Weite \(\varphi\) des Winkels zwischen Feldvektor und Flächenvektor bleibt ebenfalls konstant und hat - da die Leiterschleife senkrecht zum Magnetfeld steht - den Wert \(\varphi=0\).
Die magnetische Flussdichte am Anfang des Anstiegs (\(t=0\,\rm{s}\)) mit \(B(0\,\rm{s})=0{,}50\,\rm{T}\) und am Ende des Anstiegs (\(t=5{,}0\,\rm{s}\)) mit \(B(5{,}0\,\rm{s})=1{,}00\,\rm{T}\).
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Abb. 2 Zeitlicher Verlauf des magnetischen Flusses \(\Phi\) durch die Leiterschleife während des Anstiegs
Damit ergibt sich für den magnetischen Fluss \(\Phi(0\,\rm{s})\) am Anfang des Anstiegs\[\Phi(0\,\rm{s})= 0{,}50\,\rm{T} \cdot 50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 \cdot cos\left(0\right)=2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\rm{Wb}\]und für den magnetischen Fluss \(\Phi(5{,}0\,\rm{s})\) am Ende des Anstiegs\[\Phi(5{,}0\,\rm{s})=1{,}00\,\rm{T} \cdot 50\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 \cdot cos\left(0\right)=5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{Wb}\]Der zeitliche Verlauf des magnetischen Flusses \(\Phi\) durch die Leiterschleife während des Anstiegs ist in Abb. 2 dargestellt.
b)
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Abb. 3 Skizze zur Erklärung der Polung am Punkt \(\rm{P}_1\) während des Anstiegs
Die Skizze in Abb. 3 hilft bei der Erklärung der Polung während des Anstiegs.
Messgeräte wie z.B. ein Strommesser in der Spule müssen so geschaltet werden, dass der Strom vom Pluspol zum Minuspol durch das Messgerät läuft. Für die einheitliche Orientierung aller Messgeräte muss ein Spannungsmesser in der Leiterschleife also mit der gleichen Polung wie der Strommesser in der Spule geschaltet werden; der Pluspol also bei \(\rm{P}_1\) und der Minuspol bei \(\rm{P}_2\).
Nach dem Induktionsgesetz herrscht beim Anstieg des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife in der Leiterschleife ein elektrisches Wirbelfeld im Uhrzeigersinn. Die Stromrichtung in der Leiterschleife ist also ebenfalls im Uhrzeigersinn.
Damit liegt in der Leiterschleife das höhere Potential am Minus-Pol des Spannungsmessers und das niedrigere Potential am Plus-Pol des Spannungsmessers an: Der Spannungsmesser zeigt einen negativen Wert an.
Die Windungszahl \(N\) hat bei einer Leiterschleife mit nur einer Windung den Wert \(N=1\).
Die Zeitspanne \(\Delta t\), in der die magnetische Flussdichte ansteigt, hat den Wert \(\Delta t=5{,}0\,\rm{s}\)
Die Änderung \(\Delta \Phi\) des magnetischen Flusses in der Zeitspanne \(\Delta t\) hat den Wert \(\Delta \Phi=\Phi(5{,}0\,\rm{s})-\Phi(0\,\rm{s})=5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{Wb}-2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\rm{Wb}=2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\rm{Wb}\)
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Abb. 4 Zeitlicher Verlauf der Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) während des Anstiegs
Damit ergibt sich für die Induktionsspannung\[U_{\rm{i}} = - 1 \cdot \frac{2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\rm{Wb}}{5{,}0\,\rm{s}}=-5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{V}\]Der zeitliche Verlauf der Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}\) während des Anstiegs ist in Abb. 4 dargestellt.
c)
Der Graph des zeitlichen Verlaufs des magnetischen Flusses \(\Phi\) steigt linear an mit einer Steigung von\[\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{5{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{Wb}} - 2{,}5 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{Wb}}}}{{5{,}0\,{\rm{s}}}} = \frac{{2{,}5 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{Wb}}}}{{5{,}0\,{\rm{s}}}} = 5{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,\frac{{{\rm{Wb}}}}{{\rm{s}}}\]Der Graph der Induktionspannung \(U_{\rm{i}}\) verläuft parallel zur \(t\)-Achse mit dem konstanten Wert\[{U_{\rm{i}}} = - 5{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{V}}\]Dieser Wert der Induktionsspannung ist gerade die negative Steigung des Graphen des magnetischen Flusses \(\Phi\), was für \(N=1\) gerade durch die Formel \((3^*)\) aus dem Induktionsgesetz\[{U_{\rm{i}}} =- N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\] beschrieben wird.
