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Aufgabe

Spannungsspitzen bei Gewitter (Abitur BY 2009 GK A1-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Man stellt sich vor, dass in der Atmosphäre ein globaler elektrischer Kreislauf existiert. Die Ladungstrennung in den Wolken bildet die „Batterie“ dieses Stromkreises. Durch diese Ladungstrennung wird die sogenannte mittlere Atmosphäre, eine Schicht in rund \(40\,\rm{km}\) Höhe, positiv aufgeladen, so dass zwischen mittlerer Atmosphäre und Erdboden eine Spannung von \(U=400\,\rm{kV}\) herrscht. Sowohl die mittlere Atmosphäre als auch der Erdboden können als leitend angesehen werden. In Schönwetterregionen bilden positiv geladene Ionen einen ständigen Stromfluss von der Atmosphäre zum Erdboden, in Gewitterregionen wird durch Blitze der Stromkreis geschlossen. Die weltweit beobachtbaren Ströme können zu einem Gesamtstrom der Stärke \(I=1{,}3\,\rm{kA}\) zusammengefasst werden. Ohne anhaltende Ladungstrennung wäre bei Annahme eines konstanten Stromes \(I\) in der Schönwetterregion die mittlere Atmosphäre nach 14 Minuten entladen.

a)Berechnen Sie die Gesamtladung \(Q\) der mittleren Atmosphäre. [zur Kontrolle: \(Q=1{,}1\cdot 10^6\,\rm{C}\)] (4 BE)

b)Trotz des Stroms kann man die Schönwetterregion als Kondensator mit der mittleren Atmosphäre und dem Erdboden als Kondensatorplatten auffassen. Berechnen Sie unter Annahme eines homogenen elektrischen Felds den Betrag der Kraft \(F_{\rm{el}}\) auf ein einfach positiv geladenes Ion in der Schönwetterregion. (5 BE)

c)Zeigen Sie durch eine Abschätzung, dass der Betrag der Energie, die im elektrischen Feld der Schönwetterregion gespeichert ist, in der Größenordnung \(10^{11}\,\rm{J}\) liegt. (4 BE)

d)Nehmen Sie an, man könnte diese Energie in einem Kraftwerk im Dauerbetrieb nutzbar machen. Welche Leistung hätte das Kraftwerk? Wäre es sinnvoll, diese Ressource als „Energiequelle der Zukunft“ zu nutzen? Begründung! (5 BE)

 

Nebenstehend ist das \(t-I\)-Diagramm einer vereinfachten Blitzentladung („Normblitz“) in der Gewitterregion abgebildet. Die Anstiegszeit der Stromstärke beträgt \(10\,\rm{μs}\).

e)Zeigen Sie mithilfe des Diagramms, dass ein Normblitz etwa die Ladung \(70\,\rm{C}\) transportiert. Berechnen Sie, wie viele Normblitze es durchschnittlich pro Sekunde weltweit geben muss, damit der globale Kreislauf aufrecht erhalten werden kann. (8 BE)

f)Der Entladestrom \(I\) ist wie ein stromdurchflossener Draht von einem Magnetfeld umgeben. Für die magnetische Flussdichte im Abstand \(r\) vom Entladestrom gilt\[B = {\mu _0} \cdot \frac{I}{{2 \cdot \pi  \cdot r}}\]Berechnen Sie die maximale Flussdichte B, die sich in 50 Metern Abstand vom Normblitz ergibt. Entnehmen Sie dazu benötigte Daten dem Diagramm. [zur Kontrolle: \(B=8{,}0\cdot 10^{-4}\,\rm{T}\)] (4 BE)

In der Umgebung eines Blitzes können an spannungsempfindlichen Elektrogeräten Schäden durch Induktion auftreten. Gehen Sie davon aus, dass sich in 50 Metern Entfernung vom Normblitz eine kreisförmige Spule der Querschnittsfläche \(2{,}0\,\rm{cm^2}\) mit 1200 Windungen befindet.

g)Bei welcher Orientierung der Spule ergibt sich die größte induzierte Spannung, wenn die Blitzentladung senkrecht zur Erdoberfläche verläuft? (3 BE)

h)Berechnen Sie den Betrag der mittleren Spannung, die in den ersten \(10\,\rm{μs}\) des Normblitzes induziert wird. (6 BE)

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a)Berechnung der Gesamtladung aus der Stromstärke und der Zeit:\[Q = I \cdot t \Rightarrow Q = 1{,}3 \cdot {10^3} \cdot 14 \cdot 60\,{\rm{As}} \approx 1{,}1 \cdot {10^6}{\rm{C}}\]

b)Berechnung der elektrischen Kraft auf das Ion:\[{F_{el}} = e \cdot E = e \cdot \frac{U}{d} \Rightarrow {F_{el}} = 1{,}60 \cdot {10^{ - 19}} \cdot \frac{{400 \cdot {{10}^3}}}{{40 \cdot {{10}^3}}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}}}}{{\rm{m}}} \approx 1{,}6 \cdot {10^{ - 18}}{\rm{N}}\]

c)Abschätzung der Energie im Schönwetterfeld (Energie in einem geladenen Kondensator):\[{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot Q \cdot U \Rightarrow {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot 1{,}1 \cdot 1{0^6} \cdot 400 \cdot {10^3}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}} \approx 2,2 \cdot {10^{11}}{\rm{J}}\]

d)Die Arbeit \(W_{\rm{el}}\), die das Schönwetterfeld verrichten kann, entspricht betragsmäßig der im Feld gespeicherten Energie \(E_{\rm{el}}\). Somit kann man die Leistung abschätzen mit:\[{P_{el}} = \frac{{{W_{el}}}}{t} \Rightarrow {P_{el}} = \frac{{2{,}2 \cdot {{10}^{11}}}}{{14 \cdot 60}}{\rm{W}} \approx 0{,}26\,{\rm{GW}}\] Anschließend wäre die Atmosphäre komplett entladen. Im echten Dauerbetrieb kann man nur die Energie des Leckstromes \(I=1{,}3\,\rm{kA}\) nutzen. Hier ergibt sich die mögliche Leistung zu\[P=U\cdot I\Rightarrow P=400\cdot 10^3\,\rm{V}\cdot 1{,}3\cdot 10^3\,\rm{A}=5{,}2\cdot 10^8\,\rm{W}\] Dies entspricht lediglich der Leistung eines kleinen Kraftwerks Somit ist dies Quelle nicht als "Energiequelle der Zukunft" zu beschreiben.

e)Die Ladung, welche durch einen Normblitz transportiert wird ergibt sich aus der Abschätzung der Fläche unter dem Graphen im \(t-I\)-Diagramm. Dabei kann die Anstiegszeit vernachlässigt werden.

Durch Abzählen kommt man auf ungefähr 56 Kästchen, einem Kästchen im Diagramm ist die Ladung \(Q=25\cdot 10^3\cdot 50\cdot 10^{-6}\,\rm{C}\approx 1{,}25\,\rm{C}\) zuzuordnen. Somit hat ein Normblitz eine Ladung von etwa \(Q_{\rm{NB}}=70\,\rm{C}\).

Alternative Bestimmung über direkte Berechnung der gesamten Fläche: \(Q_{\rm{NB}}=200\cdot 10^3\cdot 200\cdot 10^{-6}\,\rm{C}+\frac{1}{2}\cdot 200\cdot 10^3\cdot 300\cdot 10^{-6}\,\rm{C}=70\,\rm{C}\)

Berechnung der Zahl der Normblitze pro Sekunde:

Von der Gesamtladung Q wird in einer Sekunde die Ladung Q* abgebaut: \[Q* = \frac{Q}{{14 \cdot 60}} \Rightarrow Q* = \frac{{1{,}1 \cdot {{10}^6}}}{{14 \cdot 60}}{\rm{C}} \approx 1{,}3 \cdot {10^3}{\rm{C}}\]Damit gilt für die Zahl N der Normblitze \[N = \frac{{Q*}}{{{Q_{NB}}}} \Rightarrow N = \frac{{1{,}3 \cdot {{10}^3}}}{{70}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{C}}} \approx 19\]Es muss weltweit pro Sekunde ca. 19 Normblitze geben.

f)Berechnung der Flussdichte in 50 m Abstand:\[B = {\mu _0} \cdot \frac{I}{{2 \cdot \pi  \cdot r}} \Rightarrow B = 4 \cdot \pi  \cdot {10^{ - 7}} \cdot \frac{{200 \cdot {{10}^3}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 50}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} \approx 8{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\]

g)Die induzierte Spannung ist dann am größten, wenn die Spulenachse parallel zur Erdoberfläche gerichtet ist, also senkrecht zur Verbindungslinie Blitz-Spule.

h)Für den Betrag der mittleren induzierten Spannung gilt\[\left| {{U_{ind}}} \right| = \left| { - N\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}} \right| = \left| { - N \cdot \frac{{A \cdot \Delta B}}{{\Delta t}}} \right| \Rightarrow \left| {{U_{ind}}} \right| = \left| { - 1200 \cdot \frac{{2,0 \cdot 1{0^{ - 4}} \cdot (8,0 \cdot {{10}^{ - 4}} - 0)}}{{10 \cdot {{10}^{ - 6}}}}} \right|\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{s}}}} \approx 19\,{\rm{V}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion