Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion

Elektromagnetische Induktion

  • Wie funktioniert ein Elektromotor?
  • Wie erzeugt ein Dynamo elektrischen Strom?
  • Was bewirkt eine Spule?

Rotierende Spule im Erdmagnetfeld (Abitur BY 2015 Ph11 A2-2)

Aufgabe

Eine rechteckige Spule mit \(N\) Windungen und den Seitelängen \(a\) und \(b\) ist auf eine Rotationsachse montiert, die in senkrechter Position in eine Bohrmaschine eingespannt ist. Die Drehzahl, mit der die Spule im Erdmagnetfeld der Flussdichte \(B_{\rm{Erde}} = 49\mathrm{\mu T}\) rotiert, beträgt \(300\) Umdrehungen pro Minute. Für den magnetischen Fluss durch die Spule gilt \(\Phi (t)=a \cdot b \cdot B_1 \cdot cos(\omega \cdot t)\), wobei \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit und \(B_1\) eine Komponente von \(B_{\rm{Erde}}\) sind.

a)Die magnetischen Feldlinien treten unter einem Winkel von \(66^\circ\) gegenüber der Horizontalen in den Erdboden ein.

Beschriften Sie zunächst die entsprechenden Pfeile in obiger Abbildung mit \(B_{Erde}\) und \(B_1\) sowie \(B_2\), der anderen Komponente von \(B_{Erde}\).

Berechnen Sie dann \(B_1\). [zur Kontrolle: \(B_1=20\mathrm{\mu T}\)] (5 BE)

b)Zeigen Sie, dass für den Scheitelwert \(U_0\) der an den Schleifringen messbaren Induktionsspannung \(U_{ind}(t)\) die Beziehung \(U_0 = N\cdot a\cdot b\cdot B_1\cdot \omega\) gilt.

Zeichnen Sie unter der Annahme, dass dieser Scheitelwert \(1,0\mathrm{mV}\) beträgt, den zeitlichen Verlauf von \(U_{ind}(t)\) für \(t = 0\) bis \(t = 0,40\mathrm{s}\). (7 BE)

c)Geben Sie sinnvolle Werte für \(a\), \(b\) und \(N\) an, sodass der in Teilaufgabe b) gezeichnete Graph von \(U_{ind}(t)\) tatsächlich beobachtet werden kann. (5 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\({\overrightarrow {B} _{\rm{1}}}\) ist die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes.

\({\overrightarrow {B} _{\rm{2}}}\) ist die Vertikalkomponente des Erdmagnetfeldes.

Berechnung des Betrages von \({\overrightarrow {\rm{B}} _{\rm{1}}}\):\[{B_1} = {B_{{\rm{Erde}}}} \cdot \cos \left( {66^\circ } \right) \Rightarrow {B_1} = 49 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot \cos \left( {66^\circ } \right)\; = 20 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 20{\rm{\mu T}}\]

b)Das Induktionsgesetz lautet\[{U_{\rm{ind}}}\left( t \right) = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\quad (1)\]Setzt man in \((1)\) den in der Angabe vorgegebenen Ausdruck für den magnetischen Fluss \(\Phi (t) = a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) ein, so ergibt sich\[{{U_{{\rm{ind}}}}\left( t \right) =  - N \cdot \frac{{d\left[ {a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right]}}{{dt}} =  - N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \frac{{d\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)}}{{dt}} = N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)}\]Der Faktor vor der Sinusfunktion stellt die Amplitude \(U_0\) der auftretenden Induktionsspannung dar. Es gilt also\[{U_0} = N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \omega \]Bei \(300\) Umdrehungen pro Minute dreht sich die Spule wegen \(300:60=5\) in der Sekunde fünf Mal. Dieser Frequenz von \(5\mathrm{Hz}\) entspricht wegen \(T = \frac{1}{f}\) eine Umlaufdauer \(T\) von \(0,20\mathrm{s}\).

c)Der Wert für \(U_0\) soll \(1,0\cdot 10^{-3}\mathrm{V}\) sein, die Frequenz \(f\) soll den Wert \(f = 300\frac{1}{{{\rm{min}}}} = 5,00\frac{1}{{\rm{s}}}\) haben. Somit gilt für das Produkt aus \(N\), \(a\) und \(b\)\[{{U_0} = N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \omega  \Leftrightarrow N \cdot a \cdot b = \frac{{{U_0}}}{{{B_1} \cdot \omega }} = \frac{{{U_0}}}{{{B_1} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot f}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{N \cdot a \cdot b = \frac{{1,0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{V}}}}{{20 \cdot {{10}^{ - 6}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 5,00\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 1,6{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}\]Dieser Wert für das Produkt aus \(N\), \(a\) und \(b\) ist z.B. für \(N = 80\); \(b = 0,20\mathrm{m}\) und \(a = 0,10\mathrm{m}\) zu erreichen.