Die Stromstärke \(I = I\left( t \right)\) des Wechselstroms beschreiben wir durch\[I\left( t \right) = \hat I \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) = \hat I \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot t} \right)\]Das magnetische Feld um einen geraden, sehr langen Leiter herum verläuft kreisförmig um den Leiter herum, so dass das magnetische Feld senkrecht zur Spulenfläche verläuft. Damit ist \(\varphi=0\).
Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe besteht nun darin, dass die Amplitude der magnetischen Flussdichte im Bereich der Spulenfläche nicht konstant ist, sondern mit wachsendem Abstand \(r\) vom Leiter immer kleiner wird. Der entsprechende Zusammenhang wird durch\[B\left( r \right) = \frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{1}{r} \cdot I \quad(1)\]beschrieben. In diesem Fall berechnet sich der magnetische Fluss durch die Spulenfläche durch das Integral\[\Phi = \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {B\left( r \right) \cdot l \cdot dr} \quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein und berechnet das bestimmte Integral, so erhält man\[\begin{eqnarray}\Phi &=& \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{1}{r} \cdot I \cdot l \cdot dr} \\ &=& \frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot I \cdot l \cdot \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{1}{r}dr} \\ &=& \frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot I \cdot l \cdot \left[ {\ln \left( r \right)} \right]_{{r_1}}^{{r_2}}\\ &=& \frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot I \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right)\end{eqnarray}\]Dann ergibt sich nach dem Induktionsgesetzt für die Induktionsspannung\[\begin{eqnarray}{U_i} &=& - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\\ &=& - N \cdot \frac{{d\left( {\frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot I(t) \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right)} \right)}}{{dt}}\\ &=& - N \cdot \frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right) \cdot \frac{{d\left( {\hat I \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}}\\ &=& - N \cdot \frac{{{\mu _0}}}{{2 \cdot \pi }} \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right) \cdot \hat I \cdot 2 \cdot \pi \cdot f \cdot \left( { - \sin \left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot t} \right)} \right)\\ &=& N \cdot {\mu _0} \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right) \cdot \hat I \cdot f \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]und damit für die Amplitude der Induktionsspannung\[{{\hat U}_i} = N \cdot {\mu _0} \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right) \cdot \hat I \cdot f\]Auflösen dieser Gleichung nach \(\hat I\) ergibt\[\hat I = \frac{{{{\hat U}_i}}}{{N \cdot {\mu _0} \cdot l \cdot \ln \left( {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \right) \cdot f}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\hat I = \frac{{0{,}040\,{\rm{V}}}}{{200 \cdot 1{,}26 \cdot {{10}^{-6}}\,\frac{{{\rm{V}\,\rm{s}}}}{{{\rm{A}\,\rm{m}}}} \cdot 5{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}} \cdot \ln \left( {\frac{{15{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}{{5{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}} \right) \cdot 50\,{\rm{Hz}}}} = 58\,{\rm{A}}\]