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Aufgabe

Induktionskochfeld (Abitur BY 2012 Ph11 A2-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einem Induktionskochfeld durchsetzt ein magnetisches Wechselfeld der Flussdichte \(B(t) = {B_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) einen metallischen Topfboden.

a)Erklären Sie, warum sich der Boden eines Eisentopfs, der auf dem eingeschalteten Kochfeld steht, erwärmt. (4 BE)

Nun wird anstelle des Topfs eine Induktionsspule mit \(N = 500\) Windungen so auf das eingeschaltete Kochfeld gelegt, dass ihre Querschnittsfläche (\(A = 30\rm{cm^2}\)) vollständig und senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt wird.

b)Zeigen Sie, dass zwischen den Enden der Spule eine Induktionsspannung mit \({U_i}(t) = - N \cdot A \cdot {B_0} \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) entsteht. (5 BE)

c)Ein an die Spule angeschlossenes Oszilloskop zeigt den nebenstehenden zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung \({U_i}(t)\). Ermitteln Sie zusammen mit dem Ergebnis der Teilaufgabe b) den Scheitelwert \(B_0\) des magnetischen Wechselfeldes. (6 BE)

d)Begründen Sie, weshalb zur Erzeugung hoher Induktionsspannungen bei Induktionskochfeldern Wechselspannungen im \(\rm{kHz}\)-Bereich und nicht solche mit der Frequenz \(50\rm{Hz}\) der Netz-Wechselspannung verwendet werden. (3 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die an die Spule gelegte Wechselspannung erzeugt in der Spule einen Wechselstrom, der wiederum ein magnetische Wechselfeld bewirkt. Dieses magnetische Wechselfeld induziert im Topfboden Wirbelströme (vgl. auch Waltenhofsches Pendel), die den metallischen Topfboden erhitzen.

Nicht verlangtes Argument, das jedoch für die effektive Funktionsweise dieser Erhitzungsmethode wesentlich ist: Das ferromagnetische Material, das aufgrund des magnetischen Wechselfeldes ständig ummagnetisiert wird, verstärkt und bündelt das Magnetfeld im Bereich des Topfbodens.

b)Für den magnetischen Fluss, welcher die (obere) Induktionsspule durchsetzt, gilt\[\Phi (t) = A \cdot B(t) \Rightarrow  \Phi (t) = A \cdot {B_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]Mit der differentiellen Form des Induktionsgesetzes gilt dann\[{U_i}(t) = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} \Rightarrow  {U_i}(t) = - N \cdot A \cdot {B_0} \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]

c)Aus Teilaufgabe b) ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der maximalen Induktionsspannung \({U_{i0}}\) und der maximalen Flussdichte \(B_0\) des Magnetfeldes:\[{U_{i0}} = N \cdot A \cdot {B_0} \cdot \omega  \Leftrightarrow {B_0} = \frac{{{U_{i0}}}}{{N \cdot {A_0} \cdot \omega }}\]woraus sich mit \({\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f}\) und \({f = \frac{1}{T}}\) ergibt\[{{B_0} = \frac{{{U_{i0}} \cdot T}}{{N \cdot {A_0} \cdot 2 \cdot \pi }}}\]Einsetzen der gegebenen Werte ergibt\[{{B_0} = \frac{{250 \cdot 40 \cdot {{10}^{ - 6}}}}{{500 \cdot 30 \cdot {{10}^{ - 4}} \cdot 2 \cdot \pi }}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \approx 1,1{\rm{mT}}}\]

d)Aus Teilaufgabe c) sieht man, dass der Scheitelwert \({U_{i0}}\) der induzierten Spannung linear mit der Frequenz der Wechselspannung steigt (\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f\)). Somit bewirkt eine höherfrequente Wechselspannung eine höhere Amplitude der induzierten Spannung. Dies hat höhere Induktionsströme im Boden des Kochtopfes und somit eine schnellere Erwärmung des Kochgutes zur Folge.