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Aufgabe

Induktion in rotierender Spule (Abitur BY 1998 GK A1-3)

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In einem homogenen magnetischen Feld mit der Feldstärke \(B\) befindet sich eine flache Induktionsspule mit der Querschnittsfläche \(A = 40\,\rm{cm}^2\) und der Windungszahl \(N = 500\). Die Drehachse liegt in der Spulenebene und steht senkrecht auf den Feldlinien des Magnetfelds. Wenn die Induktionsspule mit konstanter Frequenz \(f\) rotiert, wird in ihr eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Scheitelwert \(\widehat U_{\rm{i}}\) induziert. Indem \(f\) auf verschiedene Werte eingestellt wird, ermittelt man die folgende Messreihe:

Tab. 1 Messwerte

\(f\;\rm{in}\;\rm{Hz}\) \(16\) \(22\) \(28\) \(36\)
\(\widehat U_{\rm{i}}\;\rm{in}\;\rm{V}\) \(0{,}34\) \(0{,}46\) \(0{,}59\) \(0{,}75\)

a)Zeige durch graphische Auswertung, dass \(\widehat U_{\rm{i}}\) zu \(f\) direkt proportional ist.

Ermittle den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\). (6 BE)

b)Bestätige, ausgehend vom Induktionsgesetz, dass für den Proportionalitätsfaktor \(k\) aus Teilaufgabe a) gilt\[k = 2 \cdot \pi \cdot N \cdot A \cdot B\]

Berechne den Wert von \(B\). (9 BE)

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a)Die nebenstehende Abbildung (mit \(U_0\) statt \(\widehat U_{\rm{i}}\)) zeigt die Proportionalität. Somit gilt \({\widehat U_{\rm{i}}} = k \cdot f \quad(1)\).

Der Proportionalitätsfaktor ergibt sich aus der Steigung der Geraden:\[k=\frac{0{,}75\,\rm{V}}{36\,\rm{Hz}} = 0{,}021\,\rm{V}\,\rm{s}\quad(2)\]

 

b)Für den Fall einer Spule mit \(N\) Windungen lautet das Induktionsgesetz\[\begin{eqnarray}{U_{\rm{i}}} &=&  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\\ &=&  - N \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot A \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)\\ &=&  - N \cdot \left( {B \cdot A \cdot \left( { - \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right) \cdot \omega } \right)\\ &=& \underbrace {N \cdot B \cdot A \cdot \omega }_{{{\widehat U}_{\rm{i}}}}  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]Mit \({\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f}\) ergibt sich somit\[{{{\widehat U}_{\rm{i}}} = 2 \cdot \pi  \cdot f \cdot N \cdot A \cdot B}\]Mit Gleichung \((1)\) ergibt sich dann\[{k = 2 \cdot \pi  \cdot N \cdot A \cdot B}\]Auflösen nach \(B\) ergibt\[{B = \frac{k}{{2 \cdot \pi  \cdot N \cdot A}}}\]Einsetzen der gegebenen und berechneten Werten liefert\[B = \frac{0{,}021\,\rm{V}\,\rm{s}}{2 \cdot \pi  \cdot 500 \cdot 40 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2} = 1{,}7\cdot 10^{-3}\,\rm{T}=1{,}7\,\rm{mT}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion