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Aufgabe

Induktion bei harmonischer Änderung der magnetischen Feldstärke - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um die Induktion bei harmonischer Änderung der magnetischen Feldstärke zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\hat U_{\rm{i}} = N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A \) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\]ist bereits nach \(\color{Red}{\hat U_{\rm{i}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{N}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}}{ {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\).\[\color{Red}{N} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{N}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{\hat B}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\omega} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\omega} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot \color{Red}{\hat B} \cdot {\omega} \cdot {A}}}{ {N} \cdot {\omega} \cdot {A}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\omega} \cdot {A}\).\[\color{Red}{\hat B} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\omega} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\hat B}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{\omega} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{\omega}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{\omega} \cdot {A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {N} \cdot {\hat B} \cdot \color{Red}{\omega} \cdot {A}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}\).\[\color{Red}{\omega} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\omega}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{\hat U_{\rm{i}}} = {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot \color{Red}{A}\]nach \(\color{Red}{A}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot \color{Red}{A} = {\hat U_{\rm{i}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega} \cdot \color{Red}{A}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}\).\[\color{Red}{A} = \frac{{\hat U_{\rm{i}}}}{ {N} \cdot {\hat B} \cdot {\omega}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{A}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der Amplitude der Induktionsspannung bei harmonischer Änderung der magnetischen Feldstärke nach den fünf in der Formel auftretenden Größen
a)

In einer langen Zylinderspule wird ein hochfrequentes magnetisches Feld mit der Amplitude \(0{,}050\,\rm{T}\) und der Frequenz \(2{,}0\,\rm{kHz}\) erzeugt. Im Innenraum der Zylinderspule befindet sich achsenparallel eine Induktionsspule mit \(100\) Windungen und einer Querschnittsfläche von \(1{,}5\,\rm{cm}^2\).

Berechne die Amplitude der in der Induktionsspule induzierten Spannung.

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a)

Mit \(\varphi=0\) und damit \(\cos \left(\varphi\right)=1\), \(N=100\), \(\hat B=0{,}050\,\rm{T}\), \(\omega =2 \cdot \pi \cdot 2{,}0\,\rm{kHz}=2 \cdot \pi \cdot 2{,}0 \cdot 10^3\,\rm{Hz}\) und \(A=1{,}5\,\rm{cm}^2=1{,}5\,\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) nutzen wir die Formel für die Amplitude der Induktionspannung bei harmonischer Änderung der Feldstärke\[\hat U_{\rm{i}} = N \cdot \hat B \cdot \omega \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\hat U_{\rm{i}} = 100 \cdot 0{,}050\,\rm{T} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2{,}0 \cdot 10^3\,\rm{Hz} \cdot 1{,}5\,\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}=9{,}4\,\rm{mV}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion