Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion

Elektromagnetische Induktion

  • Wie funktioniert ein Elektromotor?
  • Wie erzeugt ein Dynamo elektrischen Strom?
  • Was bewirkt eine Spule?

Erzeugung von Wechselspannung

Aufgabe

Das Entstehen einer sinusförmigen Wechselspannung kann sowohl über die Änderung des magnetischen Flusses als auch mit Hilfe der LORENTZ-Kraft verstanden werden. Sie sollen in dieser Aufgaben beide Methoden zur Anwendung bringen.

a)Zeigen Sie mit Hilfe des Induktionsgesetzes in differentieller Form, dass bei der gleichförmigen Rotation (Drehfrequenz f) einer Spule (N Windungen; Fläche A0) im homogenen Magnetfeld der Flussdichte B eine sinusförmige Wechselspannung entsteht. Zu Beginn der Betrachtung soll die Spule in der Lage wie sie in nebenstehender Skizze dargestellt ist sein.

 

Nun sollen Sie mit Hilfe der Lorentzkraft den Nachweis einer sinusförmigen Wechselspannung erbringen. Um ihnen dies zu erleichtern wird die Problemlösung in mehrere Teilschritte zerlegt:

b)Zeichnen Sie für die Leiterstücke L1 und L2 der rechteckigen Spule den Vektor der Momentangeschwindigkeit ein. Die Leiterstücke stehen senkrecht zur Zeichenebene. Zerlegen Sie den Vektor der Momentangeschwindigkeit in Komponenten parallel und senkrecht zum Magnetfeld.

c)Berechnen Sie den Betrag der Lorentzkraft auf eine positiven Ladungsträger in L1 in Abhängigkeit von φ.

d)Berechnen Sie die in L1 induzierte Spannung Uind,1. Die Länge des Leiterstücks L1 ist l.

e)Wie groß ist die gesamte induzierte Spannung Uind,ges in der Leiterschleife?

f)Zeigen Sie, dass die so berechnete Gesamtspannung den gleichen Wert wie die in Teilaufgabe a) berechnete Spannung besitzt.

Lösung

a)\[{U_{ind}} =  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} =  - N \cdot \frac{{d\left( {\vec B \cdot \vec A} \right)}}{{dt}}\]Ausführliche Schreibweise des Skalarproduktes:\[{U_{ind}} =  - N \cdot \frac{{d\left( {B \cdot {A_0} \cdot \cos \left( \varphi  \right)} \right)}}{{dt}} =  - N \cdot \frac{{d\left( {B \cdot {A_0} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}}\]Unter Berücksichtigung konstanter Faktoren und der Kettenregel ergibt sich\[{U_{ind}} =  - N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \frac{{d\left( {\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}} =  - N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \left( { - \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \cdot \omega } \right)\]und mit \(\hat U = N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \omega \) ergibt sich\[{U_{ind}} = \hat U \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]

b) 

 

c)\[{F_L} = q \cdot {\rm B} \cdot {v_ \bot } = {F_L} = q \cdot B \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]

d)Im Gleichgewichtsfall ist die elektrische Kraft (aufgrund der Ladungstrennung im Leiter) gleich der Lorentzkraft auf eine Probeladung q im Leiter:\[\begin{array}{l}{F_{el}} = {F_L} \Rightarrow q \cdot E = q \cdot B \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Rightarrow \\\frac{{{U_{ind,1}}}}{l} = B \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Rightarrow {U_{ind,1}} = l \cdot B \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right)\end{array}\]

 

e)Die im Leiterstück L2 entstehende Spannung Uind,2 ist vom Betrag her genauso groß wie Uind,1. Die beiden Spannungen sind so gepolt, dass sie zu addieren sind. Wenn die Spule N Windungen besitzt, ver-n-facht sich die Spannung:\[{U_{ind,ges}} = 2 \cdot N \cdot {U_{ind,1}}\]\[{U_{ind,ges}} = 2 \cdot N \cdot l \cdot B \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right)\quad(1)\]

f)Für den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v der Leiterstücke und der Winkelgeschwindigkeit gilt\[v = r \cdot \omega \quad(2)\]Für den Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel φ und der Winkelgeschwindigkeit ω gilt\[\varphi  = \omega  \cdot t\quad(3)\]Setzt man (2) und (3) in (1) ein, so erhält man\[{U_{ind,ges}} = 2 \cdot N \cdot l \cdot {\rm B} \cdot r \cdot \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]Da \(l \cdot 2 \cdot r\) gleich der Fläche \({A_0}\) der Spule ist, gilt schließlich\[{{U_{ind,ges}} = N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)}\]Ein Vergleich mit Teilaufgabe a) zeigt, dass sich das gleiche Ergebnis für die induzierte Spannung ergibt.