Elektromagnetische Induktion

Aufgabe

Erzeugung induzierter Spannungen

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine luftgefüllte Spule ist \(60\,\rm{cm}\) lang und besitzt zwei voneinander getrennte übereinandergewickelte Lagen von je \(900\) Windungen, die beide nahezu denselben Durchmesser \(8{,}0\,\rm{cm}\) haben. Jede Lage hat den ohmschen Widerstand \(2{,}0\,\Omega\).

a)Durch die erste Lage fließt ein Strom, dessen zeitlicher Verlauf aus dem nebenstehenden Schaubild zu entnehmen ist.

Berechne die in der zweiten Lage während der einzelnen Zeitabschnitte induzierten Spannungen.

Zeichne ein \(t\)-\(U\)-Diagramm (\(0{,}01\,{\rm{s}} \buildrel \wedge \over = 1\,{\rm{cm}}\); \(0{,}5{\rm{V}} \buildrel \wedge \over = 1\,{\rm{cm}}\))

b)In einem zweiten Versuch wird die erste Lage von einem Wechselstrom \(I\left( t \right) = \hat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) durchflossen, wobei \(\hat I = 1{,}2\,\rm{A}\) und \(f = 20\,\rm{Hz}\) ist.

Stelle die Gleichung für den zeitlichen Verlauf der in der zweiten Lage induzierten Spannung auf.

Berechne den Scheitelwert \(\hat U _{\rm{i}}\).

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a)Berechnung der Spulenfläche: \[A = {r^2} \cdot \pi \Rightarrow A = {\left( {4,0 \cdot {{10}^{ - 2}}} \right)^2} \cdot \pi \,\,{m^2} = 16 \cdot {10^{ - 4}} \cdot \pi \,\,{m^2}\] Flussdichte: \[B = {\mu _0} \cdot I \cdot \frac{N}{l}\] Für die induzierte Spannung gilt dann \[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} \Rightarrow {U_{ind}} = - N \cdot {\rm A} \cdot \frac{{dB}}{{dt}} \Rightarrow {U_{ind}} = - N \cdot {\rm A} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l}\frac{{dI}}{{dt}}\] Bei zeitlich linearem Verlauf gilt \(\frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\) ; somit ergibt sich für U_ind mit den gegebenen Daten und \(\mu _0=4\cdot \pi\cdot 10^{-7}\rm{\frac{N}{A^2}}\) \[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - 900 \cdot 16 \cdot {10^{ - 4}} \cdot \pi \cdot 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}} \cdot \frac{{900}}{{0,60}}\frac{{V \cdot s}}{A} \cdot \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\\{U_{ind}} = - 8,55 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{V \cdot s}}{A} \cdot \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\end{array}\]

0 ≤ t < 0,01 s	\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{{1,2}}{{0,01}}\frac{A}{s} = 1,2 \cdot {10^2}\frac{A}{s}\]	U_ind = - 1,0 V
0,01 ≤ t < 0,02 s	\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{0}{{0,01}}\frac{A}{s} = 0\frac{A}{s}\]	U_ind = 0 V
0,02≤ t < 0,04 s	\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{{1,2}}{{0,02}}\frac{A}{s} = - 60\frac{A}{s}\]	U_ind = 0,50 V
0,04≤ t < 0,05 s	\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{0}{{0,01}}\frac{A}{s} = 0\frac{A}{s}\]	U_ind = 0 V

b)\[\begin{array}{l}I(t) = {I_m} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot t} \right)\quad \quad {U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\\{U_{ind}} = - N \cdot {\rm A} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l}\frac{{dI(t)}}{{dt}} \Rightarrow \quad \\{U_{ind}} = - N \cdot {\rm A} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l} \cdot {I_m} \cdot 2 \cdot \pi \cdot f \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot t} \right)\\{U_{ind}} = - 900 \cdot 16 \cdot 1{0^{ - 4}} \cdot \pi \cdot 4 \cdot \pi \cdot 1{0^{ - 7}} \cdot \frac{{900}}{{0,60}} \cdot 1,2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 20 \cdot V\cos \left( {2 \cdot \pi \cdot 20 \cdot t\frac{1}{s}} \right)\\{U_{ind}} = - 1,3V \cdot \cos \left( {40 \cdot \pi \cdot t\frac{1}{s}} \right) \Rightarrow {U_m} = 1,3\,\,V\end{array}\]

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