Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion

Elektromagnetische Induktion

  • Wie funktioniert ein Elektromotor?
  • Wie erzeugt ein Dynamo elektrischen Strom?
  • Was bewirkt eine Spule?

Erzeugung induzierter Spannungen

Aufgabe

Eine luftgefüllte Spule ist 60cm lang und besitzt zwei voneinander getrennte übereinandergewickelte Lagen von je 900 Windungen, die beide nahezu denselben Durchmesser 8,0cm haben. Jede Lage hat den ohmschen Widerstand 2,0Ω.

a)Durch die erste Lage fließt ein Strom, dessen zeitlicher Verlauf aus dem nebenstehenden Schaubild zu entnehmen ist.

Berechnen Sie die in der zweiten Lage während der einzelnen Zeitabschnitte induzierten Spannungen und zeichnen Sie ein t-U-Diagramm (0,01s → 1cm; 0,5V → 1 cm)

b)In einem zweiten Versuch wird die erste Lage von einem Wechselstrom I(t) = Im·sin(ω·t) durchflossen, wobei Im = 1,2A und f = 20Hz ist.

Stellen Sie die Gleichung für den zeitlichen Verlauf der in der zweiten Lage induzierten Spannung auf.

Wie groß ist der Scheitelwert Um?

Lösung

a)Berechnung der Spulenfläche: \[A = {r^2} \cdot \pi  \Rightarrow A = {\left( {4,0 \cdot {{10}^{ - 2}}} \right)^2} \cdot \pi \,\,{m^2} = 16 \cdot {10^{ - 4}} \cdot \pi \,\,{m^2}\] Flussdichte: \[B = {\mu _0} \cdot I \cdot \frac{N}{l}\] Für die induzierte Spannung gilt dann \[{U_{ind}} =  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} \Rightarrow {U_{ind}} =  - N \cdot {\rm A} \cdot \frac{{dB}}{{dt}} \Rightarrow {U_{ind}} =  - N \cdot {\rm A} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l}\frac{{dI}}{{dt}}\] Bei zeitlich linearem Verlauf gilt \(\frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\) ; somit ergibt sich für Uind mit den gegebenen Daten und \(\mu _0=4\cdot \pi\cdot 10^{-7}\rm{\frac{N}{A^2}}\) \[\begin{array}{l}{U_{ind}} =  - 900 \cdot 16 \cdot {10^{ - 4}} \cdot \pi  \cdot 4 \cdot \pi  \cdot {10^{ - 7}} \cdot \frac{{900}}{{0,60}}\frac{{V \cdot s}}{A} \cdot \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\\{U_{ind}} =  - 8,55 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{V \cdot s}}{A} \cdot \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\end{array}\]

0 ≤ t < 0,01 s
\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{{1,2}}{{0,01}}\frac{A}{s} = 1,2 \cdot {10^2}\frac{A}{s}\]
Uind = - 1,0 V
0,01 ≤ t < 0,02 s
\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{0}{{0,01}}\frac{A}{s} = 0\frac{A}{s}\]
Uind = 0 V
0,02≤ t < 0,04 s
\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{{1,2}}{{0,02}}\frac{A}{s} =  - 60\frac{A}{s}\]
Uind = 0,50 V
0,04≤ t < 0,05 s
\[\frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{0}{{0,01}}\frac{A}{s} = 0\frac{A}{s}\]
Uind = 0 V

b)\[\begin{array}{l}I(t) = {I_m} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot f \cdot t} \right)\quad \quad {U_{ind}} =  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\\{U_{ind}} =  - N \cdot {\rm A} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l}\frac{{dI(t)}}{{dt}} \Rightarrow \quad \\{U_{ind}} =  - N \cdot {\rm A} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l} \cdot {I_m} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot f \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot f \cdot t} \right)\\{U_{ind}} =  - 900 \cdot 16 \cdot 1{0^{ - 4}} \cdot \pi  \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 1{0^{ - 7}} \cdot \frac{{900}}{{0,60}} \cdot 1,2 \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 20 \cdot V\cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot 20 \cdot t\frac{1}{s}} \right)\\{U_{ind}} =  - 1,3V \cdot \cos \left( {40 \cdot \pi  \cdot t\frac{1}{s}} \right) \Rightarrow {U_m} = 1,3\,\,V\end{array}\]