Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Ein- und Ausschaltvorgang einer Spule (Abitur BW 1997 LK A4c)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In der nebenstehenden Schaltung wird eine Gleichspannungsquelle mit Uo = 100V verwendet. Folgende Idealisierungen sollen gelten:

•  Der Widerstand Rgl der Glühlampe sein konstant.

•  Die Spule besitze keinen ohmschen Widerstand.

•  Der Sperrwiderstand der Diode sei unendlich groß, ihr Durchlasswiderstand vernachlässigbar klein.

a)Zunächst wird der Schalter S geschlossen.

Wie groß ist die maximale Stromstärke in der Spule?

Wie groß ist die in der Spule induzierte Spannung unmittelbar nach dem Schließen des Schalters?

Skizzieren Sie für den Einschaltvorgang den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms IL(t) sowie der in der Spule induzierten Spannung Uind(t). Begründen Sie den jeweiligen Kurvenverlauf.

b)Nun wird der Schalter S geöffnet.

Wie groß ist die in der Spule induzierte Spannung unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters?

Skizzieren Sie wiederum IL(t) und Uind(t).

Begründen Sie den Kurvenverlauf.

Warum leuchtet die Lampe nur beim Öffnen des Schalters auf?

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Beim Einschalten fließt ein Strom durch den ohmschen Widerstand und die Spule. Die Glühlampe leitet nicht, da die Diode in Sperrrichtung gepolt ist. Wartet man den stationären Endzustand ab, so stellt sich die Stromstärke Imax ein, für welche gilt: \[ I_\text{max} = \frac{U_0}{R} \quad \Rightarrow \quad I_\text{max} = \frac{100}{250} \, \mathrm{A} = 0,400 \, \mathrm{A} \]Die kirchhoffsche Maschenregel besagt für den Einschaltkreis: \[ U_0 + U_\text{ind} = I \cdot R \quad \Rightarrow \quad U_0 = I \cdot R - U_\text{ind} \quad \Rightarrow \quad U_0 = I \cdot R + L \cdot \dot{I} \quad \text{da} \quad U_\text{ind} = - L \cdot \dot{I} \quad \text{ist.} \]Im Augenblick des Einschaltens fließt noch kein Strom, also gilt für t = 0: Uind = -U0 = -100V

Für t > 0 steigt die Stromstärke an, jedoch nimmt die Steigung im t-I-Diagramm laufend ab, bis schließlich die Endstromstärke Imax erreicht ist. Wegen \( U_\text{ind} = - L \cdot \dot{I} \) ist die induzierte Spannung beim Einschalten negativ, also der Batteriespannung entgegengerichtet. Da die Stromkurve abflacht wird dI/dt und damit auch der Betrag von Uind immer kleiner.

Hinweis: Die Lösungen für die Differentialgleichungen beim Einschalten sind\[ I (t) = \frac{U_0}{R} \cdot \left( 1 - e^{-\frac{t \cdot R}{L}} \right) \quad \text{und} \quad U_\text{ind} = - U_0 \cdot e^{-\frac{t \cdot R}{L}} \]

b)Im Augenblick des Ausschaltens ist die Stromstärke immer noch 0,400 A. Damit diese Stromstärke in dem Ausschaltkreis (bestehend aus R, Rgl und dem nun vernachlässigbarem Widerstand der Diode - da Polung in Durchlassrichtung) fließen kann, muss die folgende Induktionsspannung vorhanden sein: \[ U_\text{ind} = I_\text{max} \cdot \left( R + R_\text{gl} \right) \quad \Rightarrow \quad U_\text{ind} = 0,400 \cdot \left( 250 + 250 \right) \, \mathrm{V} = 200 \, \mathrm{V} \] Die in der Spule gespeicherte magnetische Energie wird nun an den Widerständen abgebaut. Strom und Induktionsspannung gehen asymptotisch gegen Null.
Da aufgrund der lenzschen Regel der Ausschaltstrom durch die Spule die gleiche Richtung besitzt wie der Einschaltstrom, ist die Diode im Ausschaltkreis in Durchlassrichtung gepolt. Es kann zum Aufleuchten der Glühlampe kommen, wenn die in der Spule gespeicherte magnetische Energie (abhängig von L und Imax) dazu ausreicht.

Hinweis: Die Lösungen für die Differentialgleichungen beim Ausschalten sind\[ I (t) = \frac{U_0}{R} \cdot e^{- \frac{t \cdot \left( R + R_\text{gl} \right)}{L}} \quad \text{und} \quad U_\text{ind} = I_\text{max} \cdot \left( R + R_\text{gl} \right) \cdot e^{- \frac{t \cdot \left( R + R_\text{gl} \right)}{L}} \]