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Aufgabe

Volumen und Energie von Batterien

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Gerätebatterien der Spannung \(1,5\mathrm{V}\) haben zylindrische Form und sind in verschiedenen Größen erhältlich: Eine Monozelle hat ein Volumen von etwa \(50\mathrm{cm^3}\), eine Babyzelle von etwa \(25\mathrm{cm^3}\), eine Mignonzelle von etwa \(7,5\mathrm{cm^3}\) und eine Microzelle von etwa \(3,7\mathrm{cm^3}\).

Es besteht ein Zusammenhang zwischen dem Volumen der Batterie und dem Inhalt an elektrischer Energie (bei "Alkali - Mangan - Zellen"). Eine Monozelle vermag eine Ladung von \(10\mathrm{Ah}\), eine Babyzelle von \(5\mathrm{Ah}\) "umzupumpen".

a)Berechne den Energieinhalt einer Monozelle und einer Babyzelle.

Berechne daraus das Verhältnis von Energieinhalt zu Volumen.

b)Berechne, welche Ladung eine Mignonzelle und welche eine Microzelle "umzupumpen" vermag.

c)Informiere dich darüber, bei welchen Geräten die einzelnen Batteriearten jeweils Verwendung finden.

d)Angenommen eine Babyzelle koste \(2,00€\).

Berechne, wie teuer eine Kilowattstunde wäre, wenn sie von einer Babyzelle abgegeben würde.

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a)Allgemein gilt für den Energieinhalt\[{E_{{\rm{el}}}} = Q \cdot U\]und damit für die Monozelle \({E_{{\rm{el,Mono}}}} = 10{\rm{A}} \cdot 3600{\rm{s}} \cdot 1,5{\rm{V}} = 54 \cdot {10^3}{\rm{J}}\) und für die Babyzelle \({E_{{\rm{el,Baby}}}} = 5,0{\rm{A}} \cdot 3600{\rm{s}} \cdot 1,5{\rm{V}} = 27 \cdot {10^3}{\rm{J}}\).

Aus den beiden Ergebnissen kann man (etwas gewagt) schließen, dass der Energieinhalt einer Batterie proportional zu deren Volumen ist:\[{E_{{\rm{el}}}} \sim V \Rightarrow {E_{{\rm{el}}}} = C \cdot V \Leftrightarrow C = \frac{{{E_{{\rm{el}}}}}}{V}\]Für die oben betrachteten Batterien gilt für den Propotionalitätsfaktor \(C\)\[C = \frac{{54 \cdot {{10}^3}{\rm{J}}}}{{50{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,1 \cdot {10^3}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

b)Vorausgesetzt man kann die oben entwickelte Proportionalität auch auf sehr kleine Batterien anwenden, gilt für eine Mignonzelle\[{{E_{{\rm{el,Mignon}}}} = C \cdot {V_{{\rm{Mignon}}}} \Rightarrow {E_{{\rm{el,Mignon}}}} = 1,1 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 7,5{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 8,3 \cdot {{10}^3}{\rm{J}}}\]Damit ergibt sich für die Ladung, die "umgepumpt" werden kann\[{E_{{\rm{el,Mignon}}}} = {Q_{{\rm{Mignon}}}} \cdot U \Leftrightarrow {Q_{{\rm{Mignon}}}} = \frac{{{E_{\rm{el,Mignon}}}}}{U} \Rightarrow {Q_{{\rm{Mignon}}}} = \frac{{8,3 \cdot {{10}^3}{\rm{J}}}}{{1,5{\rm{V}}}} = {5,5 \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^3}{\rm{As}} = 1,5{\rm{Ah}}}\]Für eine Microzelle ergibt sich entsprechend\[{{E_{{\rm{el,Micro}}}} = C \cdot {V_{{\rm{Micro}}}} \Rightarrow {E_{{\rm{el,Micro}}}} = 1,1 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 3,7{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 4,0 \cdot {{10}^3}{\rm{J}}}\]bzw.\[{E_{{\rm{el,Micro}}}} = {Q_{{\rm{Micro}}}} \cdot U \Leftrightarrow {Q_{{\rm{Micro}}}} = \frac{{{E_{{\rm{el,Micro}}}}}}{U} \Rightarrow {Q_{{\rm{Micro}}}} = \frac{{4,0 \cdot {{10}^3}{\rm{J}}}}{{1,5{\rm{V}}}} = {2,7 \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^3}{\rm{As}} = 0,74{\rm{Ah}}}\]

c) 

Monozelle Babyzelle Mignonzelle Microzelle
Taschenlampe  
Kofferradio Fernbedienung
    Walkman
  Wecker  

d)Die Babyzelle hat einen Energieinhalt von ca. \(27 \cdot {10^3}{\rm{J}}\). Die Umrechnung von \({\rm{J}}\) in \({\rm{kWh}}\) ergibt\[{E_{{\rm{el}}{\rm{,Baby}}}} = 27 \cdot {10^3}{\rm{J}} = 27 \cdot {10^3}{\rm{W}} \cdot {\rm{s}} = 27{\rm{kW}} \cdot {\rm{s}} = 27{\rm{kW}} \cdot \frac{1}{{3600}}{\rm{h}} = {\rm{7}}{\rm{,5}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{kWh}}\]Damit berechnen sich die Kosten \(K\) für eine \({\rm{kWh}}\) bei Verwendung einer Babyzelle zu\[\frac{K}{{2,0€}} = \frac{{1{\rm{kWh}}}}{{7,5 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{kWh}}}} \Leftrightarrow K = \frac{{2,0€}}{{7,5 \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}}} = 270€\]Will man also eine Energie von einer \({\rm{kWh}}\) mit Babyzellen erreichen, müsste man dafür ca. \(270€\) ausgeben.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektrische Arbeit und Leistung