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Aufgabe

Solarvoltaik auf der Berghütte

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die Hauptverbraucher auf der Alphütte sind die Melkmaschine, der Kühlschrank und die Beleuchtung. Der Radio fällt nicht ins Gewicht; elektrisch Kochen und Heizen kommt nicht in Frage. Die Beleuchtung mit Leuchtstoffröhren und Energiesparlampen benötigt etwa 100 W während 6 Stunden; der große Kühlschrank braucht 200 W während 4 Stunden; die Melkmaschine benötigt 4 Stunden lang 500 W. Die Speicherung der elektrischen Energie erfolgt durch Batterien.

a)Schätze die Batteriekosten für die Stromversorgung der Berghütte ab. Gehe vom oben angegebenen Tagesbedarf aus. Nimm an, die Batterien müssten diese Elektrizität während 3 Tagen ohne Nachladung liefern können. Die Batterie-Anlage ist aus Batterien mit 12 Volt Betriebsspannung und 100 Ah Speichervermögen aufzubauen.

Hinweise: Berechne zuerst die Energie, welche die Verbraucher benötigen. Nimm dann an, jede Batterie könnte 70 % der gespeicherten Energie bei konstant 12 Volt abgeben. Eine Batterie kostet 400.- €.

b)Schätze die Solarzellenfläche für die Berghütte ab. - Gehe vom Bedarf aus, den du bei Teilaufgabe a) berechnet hast. Nimm einen Wirkungsgrad von 12 % an. Weil die Solarzellen nicht der Sonne nachgeführt werden und alles auch bei mäßigem Wetter laufen muss, gehe von 8 Stunden täglichem Sonnenschein bei bloß 400 Watt/m2 aus.

Wie hoch sind die Kosten für die bisher betrachteten Materialien (Teilaufgabe a und b), wenn eine Solarzelle die Fläche 0,4 m2 hat und ca. 700 € kostet?

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a)Zusammenhang zwischen Energie E und Leistung P:\[E = P \cdot \Delta t\]Energie für:

Beleuchtung: \(100{\rm{W}} \cdot 6 \cdot 3600{\rm{s}} = 2,2{\rm{MJ}}\)
Kühlschrank: \(220{\rm{W}} \cdot 4 \cdot 3600{\rm{s}} = 2,9{\rm{MJ}}\)
Melkmaschine: \(500{\rm{W}} \cdot 4 \cdot 3600{\rm{s}} = 7,2{\rm{MJ}}\).

Pro Tag sind insgesamt 12,3 MJ, also für 3 Tage insgesamt 37 MJ zu speichern.

Berechnung der elektrischen Energie einer Batterie:
\[E = Q \cdot U \Rightarrow E = 100{\rm{A}} \cdot {\rm{h}} \cdot 3600\frac{{\rm{s}}}{{\rm{h}}}12{\rm{V}} = 4,3 {\rm{MJ}}\]
Davon sind 70 % nutzbar, also 4,3 MJ · 0,70 ≈ 3 MJ effektiver Energievorrat einer Batterie.
Es sind 37 MJ : 3 MJ = 12 Batterien nötig. Diese kosten etwa 5000 €.

b)Nach Teilaufgabe a) beträgt der durchschnittliche Tagesbedarf 12,3 MJ.
Der Wirkungsgrad der Zellen sei 12%:
\[\eta  = \frac{{{E_{{\rm{elektr}}}}}}{{{E_{{\rm{Licht}}}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{Licht}}}} = \frac{{{E_{{\rm{elektr}}}}}}{\eta } \Rightarrow {E_{{\rm{Licht}}}} = \frac{{12,3{\rm{MJ}}}}{{0,12}} = 103{\rm{MJ}}\]
Pro Tag müssen 103 MJ an Lichtenergie zur Verfügung stehen. Diese Energie fällt in 8 Stunden ein. Die Lichtleistung beträgt dann
\[{P_{_{{\rm{Licht}}}}} = \frac{{{E_{_{{\rm{Licht}}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {P_{_{{\rm{Licht}}}}} = \frac{{103{\rm{MJ}}}}{{8 \cdot 3600{\rm{s}}}} = 3,6{\rm{kW}}\]
Die Auffangfläche A, die diese Leistung erhält, ist
\[A = \frac{{3,6{\rm{kW}}}}{{0,4\frac{{{\rm{kW}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 9{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]
Damit sind etwa 23 Solargeneratoren à 0,4 m2 nötig. Diese kosten um die 18000 €. Insgesamt muss man also für Batterien und Zellen etwa 23000 € ausgeben.

Hinweise

Mit dem Laderegler (passt Ausgangsspannung des Solargenerators an den Ladezustand der Batterien an, verhindert Überladung der Batterien und zu hohe Lade- und Entladeströme), der Verdrahtung und der Montage kostet diese Anlage gegen 30000 €.

Bei Hütten, die weit von einem öffentlichen Netz entfernt sind, kann die Solarlösung trotzdem billiger sein als der Bau einer Versorgungsleitung.