Eine einfache, an das Haushaltsnetz anzuschließende, elektrische Christbaumbeleuchtung bestehe aus 15 in Serie geschalteten Lampen (elektrische Leistung einer jeden Lampe im Betriebszustand: \(P_L = 5 \rm{W}\).
a)
Pexels Lizenz
abhinav sharma
Abb. 1 Eine klassische Lichterkette
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Schaltskizze der Lichterkette
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Kennlinie eines Heißleiters
Wie groß ist der Strom, der durch die Lichterkette fließt?
b)
Wie groß ist der Widerstand einer Kerze?
Bei modernen Christbaumbeleuchtungen wird verhindert, dass beim Durchbrennen einer Lampe, die gesamte Beleuchtung ausfällt. Hierzu wird parallel zu jeder Kerze ein Heißleiter geschaltet. Dieses Halbleiter-Bauelement hat die Eigenschaft bei Zimmertemperatur einen relativ hohen Widerstand, bei hoher Temperatur aber einen recht kleinen Widerstand zu besitzen.
Brennt die Glühwendel einer Lampe durch, so erlöschen kurzzeitig alle Lampen. Schon nach einigen Sekunden leuchten jedoch die verbliebenen Lampen fast wieder mit der ursprünglichen Helligkeit.
Ersetzt man die defekte Lampe, so leuchtet die neue Lampe zunächst deutlich schwächer und erreicht erst nach einiger Zeit die volle Helligkeit.
c)
Erkläre die dargestellten Erscheinungen qualitativ.
Die Verhältnisse an dieser modernen Lichterkette sollen nun auch quantitativ etwas näher untersucht werden. Dazu soll die Kennlinie für einen Heißleiter verwendet werden.
d)
Berechne den Widerstand eines Heißleiters mit obiger Kennlinie für den Fall, dass alle Lampen noch intakt sind.
e)
Schätze ab, welche elektrische Leistung bei intakten Kerzen in den gesamten Heißleitern umgesetzt wird. Wie viel Prozent ist dies von der gesamten aufgenommenen elektrischen Leistung?
Für die weiteren Rechnungen werde vereinfachend angenommen, dass der Widerstand der Lampen unabhängig von der Stromstärke ist.
f)
Nun brennt eine Lampe durch. Berechne den Strom der unmittelbar nach dem Ausfall der Lampe durch die Lichterkette fließt.
g)
Welche Spannung liegt unmittelbar nach dem Ausfall der Lampe an dem zugehörigen Heißleiter?
h)
Nach kurzer Zeit fällt am Heißleiter der defekten Lampe jedoch nur noch die Spannung von 15,3V ab. Wie kommt es dieser Reduzierung von dem in Teilaufgabe g) berechneten Wert?
i)
Was lässt sich nun über die Helligkeit der verbliebenen Lampen sagen?
Für die Gesamtleistung gilt\[P_{ges}=15 \cdot 5{,}00\,\rm{W}=75\,\rm{W}\] \[P_{ges}=U\cdot I \Rightarrow I=\frac{P_{ges}}{U} \Rightarrow I=\frac{75}{230}\rm{A}=0{,}326\,\rm{A}\]
Beim Durchbrennen der Lampe hat der Strom bei der defekten Kerze nur noch die Möglichkeit durch den bei normaler Temperatur hochohmigen Heißleiter zu fließen → der Gesamtwiderstand der Schaltung steigt → der Strom durch die intakten Lampen wird kleiner → die Helligkeit geht zurück.
Durch den Heißleiter der defekten Kerze fließt nun aber mehr Strom als vor dem Störfall → der Heißleiter erwärmt sich → sein Widerstand sinkt → der Stromfluss durch die gesamte Schaltung steigt → die noch intakten Lampen leuchten wieder heller.
Vor dem Ersatz der defekten Lampe hat der Heißleiter eine geringen Widerstand. Durch das Einschrauben der neuen Lampe ist auch wieder ein Stromfluss parallel zum Heißleiter möglich → der Strom durch den Heißleiter sinkt → der Heißleiter kühlt sich ab, wodurch sein Widerstand zunimmt → es fließt wieder mehr Strom durch die neue Lampe → die Lampe leuchtet wieder mit normaler Helligkeit.
d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Kennlinie eines Heißleiters
Solange noch nichts defekt ist, liegt an der Parallelschaltung von einer Lampe und einem Heißleiter die Spannung\[U_1=\frac{U}{15} \Rightarrow U_1=\frac{230}{15}\mathrm{V}=15,3\mathrm{V}\]Aus dem Diagramm kann man einen Strom von ca. 25mA ablesen. Somit gilt\[R_{hl,kalt}=\frac{15,3}{0,025}\mathrm{\Omega}=612\mathrm{\Omega}\]
Es liegt die Serienschaltung von 14 intakten Kerzen (jeweils Parallelschaltung von Lampe und Heißleiter) und einem Heißleiter vor: \[R'_{ges}=14\cdot \frac { R_1\cdot R_{hl,kalt}}{R_1+R_{hl,kalt}}+R_{hl,kalt} \Rightarrow R'_{ges}= 14 \cdot \frac {47\cdot 612}{47+612}\mathrm{\Omega}+612\mathrm{\Omega}=1,22\mathrm{k\Omega}\]
\[I'=\frac{U}{R'_{ges}} \Rightarrow I'=\frac{230}{1222} \mathrm{A} =0,19 \mathrm{A} \]Im Vergleich dazu war der Strom vor dem Defekt etwa doppelt so hoch.
Die sehr hohe bei g) berechnete Spannung liegt nur extrem kurze Zeit am Heißleiter. Die hohe Spannung bewirkt einen hohen Strom im Heißleiter → der Widerstand sinkt ab und die am Heißleiter abfallende Spannung erreicht z.B. den Wert von 15,3V.
i)
Die Spannung von 15,3V ist gleich der Spannung, welche am Element abfiel als die Lampe noch in Ordnung war. Dies bedeutet, dass die verbliebenen Kerzen etwa mit der gleichen Helligkeit leuchten wie vor dem Störfall.
