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Aufgabe

Bergbauers Elektroauto

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

By Franko30 (Own work) [Public domain], via Wikimedia Commons

Herr Bergbauer hat eine hochgelegene Alm in einem Naturschutzgebiet. Aus Umweltgründen dürfen dort Verbrennungsmotoren nicht verwendet werden. Deshalb hat sich Herr Bergbauer entschlossen, ein Elektroauto zu verwenden. Der Weg vom Tal zur Hütte überwindet \(1200\) Höhenmeter und hat eine Länge von \(12\rm{km}\). Die mittlere Rollreibungskraft beträgt \(5\% \) der Gewichtskraft. Das Auto wiegt leer \(250\rm{kg}\), die maximale Zuladung beträgt \(100\rm{kg}\).

a)Berechne die Energie, die Herr Bergbauer (Masse \(100\rm{kg}\)) für eine Bergfahrt benötigt.

b)Berechne, wie viele Akkus (\(353\rm{V}\) - \(9,0\rm{Ah}\)) er im Tal vor der Bergfahrt laden muss, wenn der Wirkungsgrad des Motors \({80\% }\) beträgt.

c)Der Hersteller gibt die Leistung des Elektromotors mit \(5,0\rm{kW}\) an.

Berechne, welche Zeit Herr Bergbauer mindestens zur Fahrt auf die Alm benötigt.

d)Berechne die maximale Durchschnittsgeschwindigkeit, die Herr Bergbauer bei der Fahrt auf die Alm erreichen kann.

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a)Herr Bergbauer muss mit dem Auto die erforderliche Hubarbeit \({W_{{\rm{Hub}}}}\) für \(1200\rm{m}\) Höhenunterschied und die Reibungsarbeit \({W_{{\rm{Reib}}}}\), die durch Reibung auf der \(12\rm{km}\) langen Strecke \(s\) anfällt, aufbringen:\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{mech}}}} &=& {W_{{\rm{Hub}}}} + {W_{{\rm{Reib}}}}\\ &=& \left( {{m_{{\rm{Wagen}}}} + {m_{{\rm{Bergbauer}}}}} \right) \cdot g \cdot h + {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot \left( {{m_{{\rm{Wagen}}}} + {m_{{\rm{Bergbauer}}}}} \right) \cdot g \cdot s\\ &=& \left( {{m_{{\rm{Wagen}}}} + {m_{{\rm{Bergbauer}}}}} \right) \cdot g \cdot \left( {h + {\mu _{{\rm{RR}}}} \cdot s} \right)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {E_{{\rm{mech}}}} = \left( {250{\rm{kg}} + 100{\rm{kg}}} \right) \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \left( {1200{\rm{m}} + 0,05 \cdot 12000{\rm{m}}} \right) = 6,2 \cdot {10^6}{\rm{J}}\]

b)Der Wirkungsgrad \(\eta \) von \({80\% }\) besagt, dass nur \({80\% }\) der zugeführten elektrischen Energie als mechanische Energie zur Verfügung stehen. Es gilt\[\eta  = \frac{{\Delta {E_{{\rm{mech}}}}}}{{{W_{{\rm{el}}}}}} \Leftrightarrow {W_{{\rm{el}}}} = \frac{{\Delta {E_{{\rm{mech}}}}}}{\eta } \Rightarrow {W_{{\rm{el}}}} = \frac{{6,2 \cdot {{10}^6}{\rm{J}}}}{{0,80}} = 7,7 \cdot {10^6}{\rm{J}}\]Für die elektrische Energie \({W_{{\rm{Akku}}}}\) eines Akkus gilt\[{W_{{\rm{Akku}}}} = U \cdot Q \Rightarrow {W_{{\rm{Akku}}}} = 353{\rm{V}} \cdot 9,0{\rm{A}} \cdot 3600{\rm{s}} = 1,1 \cdot {10^7}{\rm{J}}\]Somit reicht ein Akku zur Fahrt auf die Alm aus.

c)Die für das Aufbringen der elektrischen Energie benütigte Zeit berechnet sich durch\[{P_{{\rm{el}}}} = \frac{{{W_{{\rm{el}}}}}}{t} \Leftrightarrow t = \frac{{{W_{{\rm{el}}}}}}{{{P_{{\rm{el}}}}}} \Rightarrow t = \frac{{7,7 \cdot {{10}^6}{\rm{J}}}}{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{W}}}} = 1,5 \cdot {10^3}{\rm{s}} \approx 26{\rm{min}} \approx 0,43{\rm{h}}\]

d)Bei einer Fahrtstrecke von \(12\rm{km}\) berechnet sich die durchschnittliche Geschwindigkeit zu\[s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{12{\rm{km}}}}{{0,43{\rm{h}}}} = 28\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]