Aufbau
Die großen Ausmaße eines Linearbeschleunigers können erheblich reduziert werden, wenn man die Teilchenbahn mit Hilfe eines homogenen Magnetfelds "aufwickelt". Bei dem von Ernest LAWRENCE (1901 - 1958) entwickelten Normal-Zyklotron durchlaufen die geladenen Teilchen, z.B. Protonen oder \(\alpha\)-Teilchen, ähnlich wie beim Linearbeschleuniger mehrmals eine Spannung, die zwischen zwei hohlen halbkreisförmigen Elektroden, den sog. Duanten anliegt.
Funktionsprinzip
Beim Normal-Zyklotron liegt eine hochfrequente Wechselspannung konstanter Frequenz \(f\) zwischen zwei Duanten an. Die Duanten-Anordnung befindet sich in einer Vakuumkammer.
Senkrecht zur Ebene, in der die Duanten liegen wirkt ein starkes homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte \(B\). Das Magnetfeld wird von Elektromagneten erzeugt und zwingt die von der Teilchenquelle ausgehenden geladenen Teilchen durch die auftretende LORENTZ-Kraft auf Kreisbahnen.
Bei jedem Durchlauf des Zwischenraums zwischen den beiden Duanten werden die Teilchen im elektrischen Feld beschleunigt und ihre kinetische Energie nimmt zu.
Animation der Funktionsweise
Die Animation in Abb. 2 zeigt stark vereinfacht die Funktionsweise des Normal-Zyklotrons. Die kinetische Energie der Teilchen nimmt zwischen den Duanten zu, auf dem Weg durch die Duanten bleibt die kinetische Energie gleich, da die LORENTZ-Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt.
Simulation eines Zyklotrons
Die folgende Simulation visualisiert den Ablauf des Beschleunigungsprozesses bei wählbarer Beschleunigungsspannung \(U\) und magnetischer Flussdicht \(B\). Auch zwischen verschiedenen zu beschleunigenden Teilchen kannst du wählen. Die Simulation zeigt die konstante Frequenz \(f\) an, mit der die Spannung \(U\) zwischen den Duanten wechselt. Dabei ist die Spannung immer gerade dann maximal, wenn das Teilchen den Zwischenraum zwischen den Duanten passiert, sodass eine maximale Erhöhung der Geschwindigkeit \(v\) bzw. der kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) des Teilchens erreicht wird.
Wir danken Thomas Kippenberg für die Erlaubnis, diese Simulation der MintApps auf LEIFIphysik zu nutzen. Der Code steht unter GNU GPLv3.
Aufgabe
Aufgabe
Untersuche mit Hilfe der Simulation, wie die Beschleunigungsspannung \(U\) und die magnetische Flussdichte \(B\) die Zyklotronfrequenz \(f\) beeinflussen.
Berechnung der Zyklotronfrequenz
Die LORENTZ-Kraft \(\vec F_{\rm{L}}\) wirkt als die notwendige Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) für die Kreisbahn. Deshalb gilt für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[\begin{eqnarray}{F_{\rm{L}}} &=& {F_{{\rm{ZP}}}}\\ \Leftrightarrow q \cdot v \cdot B &=& \frac{{m \cdot {v^2}}}{r}\\ \Rightarrow v &=& \frac{{r \cdot q \cdot B}}{m}\end{eqnarray}\]Mit \(v=\omega\cdot r=2 \cdot \pi \cdot f \cdot r \) ergibt sich daher für die sog. Zyklotronfrequenz \(f\)\[\begin{eqnarray}2 \cdot \pi \cdot f \cdot r &=& \frac{{r \cdot q \cdot B}}{m}\\ \Leftrightarrow f &=& \frac{{q \cdot B}}{{2 \cdot \pi \cdot m}}\end{eqnarray}\]und für die Umlaufdauer \(T\)\[T=\frac{1}{f}=\frac{2\cdot \pi\cdot m}{q\cdot B}\]Die Zyklotronfrequenz \(f\), die Umlaufdauer \(T\) und damit auch die Durchlaufzeit durch einen Duanten sind also unabhängig vom Bahnradius \(r\). Daher kann die Frequenz der angelegten Wechselspannung beim klassischen Zyklotron konstant bleiben.
Energie und Geschwindigkeit des Teilchens
Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) des Teilchens nimmt mit jedem Durchlauf durch das elektrische Feld zwischen den Duanten um den Betrag \(q\cdot U\) zu. Vernachlässigt man die Anfangsenergie des Teilchens beim Austritt aus der Quelle gilt daher\[E_{\rm{kin}}(n)=n\cdot q\cdot U\]Die Teilchengeschwindigkeit \(v\) nach \(n\) Durchläufen durch das elektrische Feld beträgt daher\[v=\sqrt{\frac{2}{m}\cdot q\cdot U\cdot n}\]
Nachteile und Grenzen
Ein Zyklotron dieser Art eignet sich nur für Teilchenbeschleunigungen bis auf ca. \(0{,}1\cdot c\), da ab hier die relativistische Massenzunahme dafür sorgt, dass die Umlaufdauer \(T\) nicht mehr konstant ist, sondern zunimmt. Daher gerät diese gegenüber der weiterhin konstanten äußeren Wechselspannung "aus dem Tritt", was zu einer nicht mehr optimalen Beschleunigung führt.
Aus diesem Grund werden mithilfe von Zyklotronen in der Regel schwere Teilchen wie Protonen oder Deuteronen beschleunigt. Bei typischen Beschleunigungsspannungen von einigen hundert Volt erreichen diese nach ca. \(50\) Umläufen Energien im Bereich von \(\rm{10\,MeV}\).