Zuerst bestimmen wir die magnetische Flussdichte im HELMHOLTZ-Spulenpaar. Mit \(\mu_0 = 1{,}26 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{A}}^2}}}\), \(N=137\), \(R=10{,}5\,\rm{cm}=10{,}5\cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und \(I_{\rm{S}} =1{,}94\,\rm{A}\) nutzen wir die angegebene Formel \[B = {\mu _0} \cdot \frac{8}{{\sqrt {125} }} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = 1{,}26 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{A}}^2}}} \cdot \frac{8}{{\sqrt {125} }} \cdot \frac{137}{10{,}5\cdot 10^{-2}\,\rm{m}} \cdot 1{,}94\,{\rm{A}} = 2{,}28 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{{\rm{V}} \, {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\quad(1)\]Wir zeigen jetzt eine etwas trickreiche Herleitung der benötigten Formel: Die LORENTZ-Kraft wirkt hier als Zentripetalkraft, so dass gilt\[e \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow v = \frac{e \cdot B \cdot r}{m}\quad(2)\]Für die kinetische Energie der Elektronen ergibt sich\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\quad(3)\]Setzt man \((2)\) in \((3)\) ein, so ergibt sich\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\frac{{e \cdot B \cdot r}}{m}} \right)^2} = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow \frac{e}{m} = \frac{{2 \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{r^2} \cdot {B^2}}}\quad(4)\]Mit \(U_{\rm{B}} =38{,}9\,\rm{V}\), \(r= \frac{1}{2} \cdot 1{,}85\,\rm{cm} = 0{,}925\,\rm{cm}=0{,}925\cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und \(B=2{,}28 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{{\rm{V}} \, {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) erhält man für die spezifische Ladung des Elektrons\[{\frac{e}{m} = \frac{{2 \cdot 38{,}9{\rm{V}}}}{{{{\left( 0{,}925\cdot 10^{-2}\,\rm{m} \right)}^2} \cdot \left( {2{,}28 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right)^2}} = 1{,}73 \cdot {{10}^{11}}\frac{{{\rm{A}} \, {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}}}\]Zu den Einheiten für den Ausdruck in Gleichung \((4)\):\[\left[ {\frac{e}{m}} \right] = \frac{{\rm{V}}}{{{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {\frac{{{\rm{V}}\;{\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{V}}\;{{\rm{s}}^2}}} = \frac{{{\rm{A}}\;{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{V}}\;{\rm{A}}\;{\rm{s}} \cdot {\rm{s}}}} = \frac{{{\rm{A}}\;{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{J}}\;{\rm{s}}}} = \frac{{{\rm{A}}\;{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{N}}\;{\rm{m}} \cdot {\rm{s}}}} = \frac{{{\rm{A}}\;{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{kg}}\;\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\;{\rm{m}} \cdot {\rm{s}}}} = \frac{{{\rm{A}}\;{\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}}\]
