Der Van-Allen-Gürtel ist ein Gebiet außerhalb der Erdatmosphäre, in dem eine hohe Elektronendichte herrscht. Man erklärt dies durch schnelle Elektronen aus dem Sonnenwind, die sich auf Spiralbahnen um die magnetischen Feldlinien des Erdmagnetfeldes bewegen. Elektronen treffen mit der Geschwindigkeit \(2100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) auf ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(2,5 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{T}}\) (siehe nebenstehende Skizze).
a)Für \(\alpha = 90^\circ \) durchlaufen die Elektron Kreisbahnen.
Bestimme die Umlaufrichtung und den Radius der Bahnen. (6 BE)
c)In Feldrichtung betrachtet, scheinen die Elektronen aus Teilaufgabe b) Kreisbahnen zu durchlaufen.
Bestimme den Radius \({r^*}\) dieser Kreise in Abhängigkeit von \(\alpha \).
Bestimme auch die Zeit für einen Umlauf bei einem Winkel von \(\alpha = 60°\). (6 BE)
d)Von der Seite gesehen erscheint das kreisende Elektron von Teilaufgabe a) wie eine oszillierende Ladung in einem Dipol.
Welche Wellenlänge hat die abgestrahlte elektromagnetische Welle? (4 BE)
Sehr nahe am Pol sorgt das inhomogene Magnetfeld für eine Umkehr der Richtung der nun entstehenden Spiralbahnen. Dadurch "pendelt" das Elektron mehrmals zwischen den Magnetpolen der Erde hin und her.
e)Das Feld in Nordpolnähe hat vereinfacht die skizzierte Struktur.
Erläutere anhand einer klaren Skizze, wie die "Reflexion" der Elektronen in dem inhomogenen Magnetfeld verstanden werden kann.
Hinweis: Wenn viele Elektronen die Erdatmosphäre erreichen, entsteht durch die Wechselwirkung mit Materie eine Leuchterscheinung, das Polarlicht.
a)Die Richtung der LORENTZ-Kraft auf die Elektronen wird mit der Drei-Finger-Regel der linken Hand ermittelt:
Daumen: Bewegungsrichtung der Elektronen
Zeigefinger: Orientierung des Magnetfelds
Mittelfinger: Richtung der Lorentzkraft
Blickt man in Richtung des Magnetfeldes, so laufen die Elektronen im Uhrzeigersinn um. Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft, so dass sich ergibt\[\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot v}}{{e \cdot B}} \Rightarrow r = \frac{{9{,}11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 2100 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 2{,}50 \cdot {{10}^{ - 5}}{\rm{T}}}} = 47{,}7\,{\rm{cm}}\]
b)Zerlegt man die Geschwindigkeit \(\vec{v}\) in eine Komponente \(\vec{v}_{||}\) parallel zur -Richtung und eine Komponente \(\vec{v}_{\perp}\) senkrecht zur \(\vec{v}\) -Richtung, so führt \(\vec{v}_{\perp}\) mit dem Magnetfeld zu einer Kreisbahn, während \(\vec{v}_{||}\) zu einer Translation längs der Feldlinie führt. Als resultierende Bahn ergibt sich eine Schraubenlinie.
c)Übertragung der bei a) hergeleiteten Beziehung:\[r^* = \frac{m \cdot v_{\perp}}{e \cdot B}\]
d)Für die Umlauffrequenz gilt \[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{1{,}43\cdot 10^{-6}}\,\rm{Hz}=0{,}700\,\rm{MHz}\]Für die Wellenlänge der Dipolstrahlung gilt dann\[c = \frac{\lambda}{T} \Rightarrow \lambda = c \cdot T \Rightarrow \lambda = 3{,}00 \cdot 10^8 \cdot 1{,}43 \cdot 10^{-6}\,\rm{m}\]
e)Das betrachtete Elektron möge sich in die Papierebene hineinbewegen. Aufgrund des inhomogenen Magnetfelds ergibt sich eine Lorentzkraft in der skizzierten Richtung. Diese Lorentzkraft kann in die Komponente mit dem Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) und in eine rücktreibende Kraft vom Betrag \(F_{\rm{rück}}\) zerlegt werden. Letztere ist für die "Reflexion" der Elektronen verantwortlich.
