Die aus einer Glühkathode mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit austretenden Elektronen werden durch die Spannung \(U\) beschleunigt und passieren die Anode durch die Öffnung A mit der Geschwindigkeit \(v\). Hinter der Anodenöffnung verläuft die Elektronenbahn bis zum Auftreffen auf die Fotoplatte F in einem homogenen Magnetfeld der Feldstärke \(B\), das senkrecht zur Teilchenbewegung gerichtet ist. Die Elektronen treffen im Abstand \(x\) von der Öffnung A auf die Fotoplatte.
a)Berechne die Beschleunigungsspannung \(U_0\), bis zu der \(v\) kleiner als \(10\%\) der Lichtgeschwindigkeit und somit eine nichtrelativistische Rechnung zulässig ist. (7 BE)
b)Bestimme \(x\) für nichtrelativistische Elektronen in Abhängigkeit von \(U\) und \(B\). [Zwischenergebnis: \(x = \frac{{2 \cdot {m_e} \cdot v}}{{e \cdot B}}\)] (7 BE)
c)Die Fotoplatte F registriert Elektronen bis zu einem maximalen Abstand \(x_{\rm{max}}= 10\,\rm{cm}\).
Berechne, wie groß \(B\) mindestens gewählt werden muss, damit alle nichtrelativistischen Elektronen auf die Fotoplatte treffen. (5 BE)
Nun passieren statt der Elektronen einfach geladene Ionen die Öffnung A mit der einheitlichen Geschwindigkeit \(v = 5{,}4 \cdot 10^4\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und treffen auf die Fotoplatte F.
d)Erläutere genau, wie man erreichen kann, dass nur Ionen einheitlicher Geschwindigkeit durch die Öffnung A gelangen. (6 BE)
e)Unter diesen Ionen befinden sich Isotope mit einem Massenunterschied von \(\Delta m = 1\,u = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\rm{kg}\) (atomare Masseneinheit). Voraussetzung für eine einwandfreie Trennung der Isotope auf der Fotoplatte ist ein Abstandsunterschied \(\Delta x ≥ 1{,}5\,\rm{mm}\).
Entscheide durch Rechnung, ob eine Trennung möglich ist, wenn dazu ein Magnetfeld geeigneter Orientierung der Feldstärke \(B = 0{,}32\,\rm{T}\) verwendet wird. (9 BE)
a)Die im elektrischen Feld gewonnene Energie der Elektronen liegt bei A als kinetische Energie vor. Für den Zusammenhang zwischen Spannung \(U\) und Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen nach dem Durchlaufen der Spannung \(U\) gilt (nicht relativistisch)\[\frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v^2} = e \cdot U \Leftrightarrow U = \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot {v^2}}}{{2 \cdot e}}\]Berechnung der Spannung \(U_0\), bei der \(v = 0{,}1 \cdot c\) ist\[{U_0}=\frac{9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg} \cdot \left( 0{,}10 \cdot 3{,}0 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \right)^2}{{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{A}\,\rm{s}}}=2{,}56\,\rm{kV}\]Für \(U < 2{,}56\,\rm{kV}\) ist die Geschwindigkeit der Elektronen kleiner als \(10\%\) der Lichtgeschwindigkeit.
b)Im homogenen Magnetfeld gilt\[{{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow e \cdot {v_{\rm{e}}} \cdot B = \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot v}}{{e \cdot B}}}\]Damit ergibt sich\[{x = 2 \cdot r = \frac{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot v}}{{e \cdot B}}\quad (1)}\]Für die Geschwindigkeit der Elektronen (vgl. Teilaufgabe a)) gilt\[v = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot U}}{{{m_{\rm{e}}}}}} \quad (2)\]Setzt man \((2)\) in \((1)\), so erhält man\[x = \frac{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot U}}{{{m_{\rm{e}}}}}} }}{{e \cdot B}} = \frac{2}{B} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot U}}{e}} \]
d)Man lässt die Ionen (wir nehmen an, diese seien positiv geladen) durch ein Geschwindigkeitsfilter z.B. "WIENsches Geschwindigkeitsfilter" laufen. In ihm steht der Vektor der elektrischen Feldstärke senkrecht auf dem Vektor der magnetischen Flussdichte und beide Feldstärkevektoren sind wiederum senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor der einlaufenden Ionen.
Keine Ablenkung findet für diejenigen Ionen statt, bei denen der Betrag von Lorentzkraft und elektrischer Kraft gleich ist:\[F_{\rm{L}} = F_{\rm{el}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = e \cdot E \Leftrightarrow v = \frac{E}{B}\]
