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Aufgabe

Schraubenlinie im Fadenstrahlrohr

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Im Normalfall werden beim Fadenstrahlrohr die Elektronen senkrecht zum homogenen Magnetfeld eingeschossen.

Welche Bahn durchlaufen die Elektronen in diesem Fall.

Gib hierfür eine zeichnerische Erläuterung.

b)Welche Bahn würden die Elektronen durchlaufen, wenn sie parallel zum Magnetfeld eingeschossen werden?

c)Schießt man die Elektronen beim Fadenstrahlrohr nicht senkrecht aber auch nicht parallel zum Magnetfeld ein, so ergibt sich eine Schraubenbahn.

Mache das Entstehen der Schraubenbahn plausibel.

d)Der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Magnetfeldrichtung sei \(α=30°\), der Betrag der Geschwindigkeit ist \(v=0{,}20\cdot10^7\,\rm{\frac{m}{s}}\) und die Umlaufdauer auf einer Kreisbahn \(T=0{,}60\cdot 10^{-7}\,\rm{s}\).

Berechne die Ganghöhe \(h\) der Schraubenbahn.

Hinweis: Unter der Ganghöhe einer Schraube versteht man diejenige Strecke, um die sich die Schraube bei einer vollen Umdrehung ins Gewinde hineindreht.

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a)Das Magnetfeld (grün) ist in die Zeichenebene hineingerichtet.

Mit Hilfe der Drei-Finger-Regel der linken Hand kann man die Kraftrichtung auf die nach oben aus der Elektronenkanone geschleuderten Elektronen ermitteln. Die Lorentzkraft zeigt nach rechts.

Dadurch werden die Elektronen abgelenkt, es ändert sich die Richtung (nicht der Betrag) der Geschwindigkeit und somit die Richtung der Lorentzkraft.

In der Abbildung sind für drei Stellen die Lorentzkräfte eingezeichnet. Es ist zu sehen, dass sie stets zum Mittelpunkt der Kreisbahn zeigen. Man bezeichnet die Lorentzkraft in diesem Fall auch als Zentripetalkraft. Sie ist dafür verantwortlich, dass die Elektronen auf einer Kreisbahn gehalten werden können.

 

b)Werden die Elektronen parallel zum Magnetfeld eingeschossen, so erfahren sie keine Lorentzkraft, also bewegen sie sich geradlinig in Einschussrichtung (d. h. parallel zu den Magnetfeldlinien) weiter.

 

c)In diesem Fall kann der Geschwindigkeitsvektor in eine Komponente parallel und eine Komponente senkrecht zum Magnetfeld zerlegt werden.

Die Komponente \({\vec v_ \bot }\) allein würde zu einer Kreisbahn (Radius r) für die Elektronen führen.

Die Komponente \({\vec v_{||}}\) allein würde dazu führen, dass sich die Elektronen längs der Feldlinien bewegen würden.

Beide Komponenten zusammen führen zu einer Schraubenlinien mit dem Radius \(r\) und der Ganghöhe \(h\).

 

d)\[h = {v_{||}} \cdot T = v \cdot \cos \alpha \cdot T\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = 0{,}20 \cdot 10^7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \cos (30^\circ ) \cdot 0{,}60 \cdot 10^{-7}\,{\rm{s}} = 0{,}10\,{\rm{m}}\]Hinweis: Wenn du mit dem Kosinus noch nicht umgehen kannst, kannst du \({\vec v_\parallel }\) auch als Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern