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Aufgabe

Schraubenlinie

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Elektron wird mit der Geschwindigkeit \(v_0=2{,}0 \cdot 10^7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfelds mit der Feldstärke \(B=3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{T}\) eingeschossen.

a)Berechne den Betrag der LORENTZ-Kraft, die auf das Teilchen wirkt.

b)Gib an, welche Bahn das Teilchen beschreibt.

Berechne die charakteristische Größe dieser Bahn.

 

Nun wird das Elektron mit der gleichen Geschwindigkeit, aber unter einem Winkel der Weite  \(80^\circ\) zu den Feldlinien in das Megnetfeld eingeschossen.

c)Berechne den Betrag der LORENTZ-Kraft, die nun auf das Teilchen wirkt.

d)Gib an, welche Bahn das Teilchen nun beschreibt.

Berechne die charakteristischen Größen dieser Bahn.

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a)Mit der Formel für die LORENTZ-Kraft\[F_{\rm{L}} =e \cdot {v_0} \cdot B \]ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Größen\[F_{\rm{L}} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{A}\,\rm{s} \cdot 2{,}0 \cdot 10^7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{T} = 9{,}6 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\]

b)Die Teilchen beschreiben eine Kreisbahn, da stets eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung mit einem konstanten Betrag wirkt (LORENTZ-Kraft). Diese LORENTZ-Kraft stellt die Zentripetalkraft dar. Damit ergibt sich\[{{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow e \cdot {v_0} \cdot B = \frac{{m \cdot v_0^2}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}}}\]Einsetzen der gebenen Werte liefert\[r = \frac{9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg} \cdot 2{,}0 \cdot 10^7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{A}\,\rm{s} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{T}} = 0{,}38\,\rm{m}\]

 

c)Man entnimmt Abb. 3\[\begin{array}{l}{{v_{||}} = {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) \Rightarrow {v_{||}} = 2{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {10^\circ } \right) = 3{,}5 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\\{{v_ \bot } = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right) \Rightarrow {v_{||}} = 2{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \cos \left( {10^\circ } \right) = 2{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\end{array}\]Da \({{v_ \bot }} \approx v_0\) bleibt \(F_{\rm{L}}\) praktisch gleich.

d)Das Teilchen beschreibt nun eine Schraubenlinie. Berücksichtigt man, dass sich die Geschwindigkeit \({v_{||}}\) und damit auch der Radius \(r\) der Kreisbahn kaum ändert, so berechnet sich die Umlaufdauer \(T\) durch\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{{{v_ \bot }}} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 0{,}38\,{\rm{m}}}}{{2{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 1{,}2 \cdot {10^{-7}}\,{\rm{s}}\]In dieser Zeit kommt das Teilchen um die Ganghöhe \({h = {v_{||}} \cdot T}\) in Richtung des Magnetfeldes voran. Es ergibt sich\[h = 3{,}5 \cdot 10^6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-7}\,\rm{s} = 0{,}42\,\rm{m}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern