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Aufgabe

Magnetohydrodynamischer Generator (MHD-Generator)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Zwischen die Platten eines Kondensators (Abstand \(d=0,5\rm{cm}\)) wird ein Strahl aus Elektronen und einfach positiv geladenen \(\rm{Li}\)-Atomen mit der Geschwindigkeit \({v_{\rm{e}}} = {v_{{\rm{L}}{{\rm{i}}^ + }}} = 1,0 \cdot {10^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) eingeschossen. Der Strahl ist nach außen hin neutral. Senkrecht zur Strahlrichtung und parallel zu den Plattenoberflächen ist ein statisches Magnetfeld (\(B = 0,10 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\)) angelegt, das zur Ladungstrennung dient.

a)Berechne den Betrag der Kraft, die auf die Elektronen bzw. die \({{\rm{L}}{{\rm{i}}^ + }}\)-Ionen wirkt.

b)Berechne die Krümmungsradien für die beiden Teilchensorten.

c)Berechne, wie lang der Kondensator etwa sein muss , damit ihn keine \({{\rm{L}}{{\rm{i}}^ + }}\)-Ionen mehr verlassen können.

d)Berechne die Stärke des Stroms, der dann über den Kurzschlussbügel fließt, wenn \(6,25 \cdot {10^{14}}\) Teilchen jeder Sorte pro Sekunde in den Kondensator einlaufen.

Die beiden Platten sind nun nicht mehr verbunden:

e)Erläutere, welche zusätzliche Kraft nun auf die Teilchen wirkt.

f)Berechne, auf welche Maximalspannung \({U_{{\rm{max}}}}\) sich die Platten aufladen können.

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a)Auf die Elektronen bzw. die \({{\rm{L}}{{\rm{i}}^ + }}\)-Ionen wirkt die LORENTZ-Kraft mit dem Betrag \(F_{\rm{L}} = e \cdot v \cdot B \). Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{L}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 1,0 \cdot {10^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 0,10 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 20}}{\rm{N}}\]

b)Da die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft wirkt, gilt\[{F_{\rm{L}}} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot {v^2}}}{{{F_{\rm{L}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{r_{\rm{e}}} = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {1,0 \cdot {{10}^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ - 20}}{\rm{N}}}} = 5,7{\rm{mm}}\]sowie (als Masse verwendet man das schwerere Lithium-Isotop)\[{r_{{\rm{L}}{{\rm{i}}^ + }}} = \frac{{7,0 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {1,0 \cdot {{10}^4}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ - 20}}{\rm{N}}}} = 73{\rm{m}}\]Der Kondensator ist schmal genug, dass alle Elektronen auf die Platte gelangen.

 

c)Für die \(\rm{Li}^+\)-Ionen muss man diejenigen verwenden, die die ganze Kondensatorbreite durchlaufen müssen. Dabei ergibt sich die rechts gezeichnete Geometrie. Mit dem Hypotenusensatz von PYTHAGORAS ergibt sich\[l^2 = r^2 - (r-d)^2 = 2 \cdot r\cdot d -d^2\] Ein anderer Lösungsansatz stützt sich auf das durch den THALES-Kreis ergebende rechtwinkligen Dreieck mit dem Kreisdurchmesser \(2r\) als Hypotenuse und verwendet den Höhensatz: \[l^2 = (2 \cdot r - d) \cdot d\] Jeweils folgt \[l = \sqrt{2 \cdot r \cdot d - d^2} \Rightarrow l = \sqrt{2 \cdot 73\rm{m} \cdot 0,005\rm{m} - (0,005\rm{m})^2} = 85\rm{cm}\]

d)Es fließen \(6,25 \cdot {10^{14}}\) Elektronen pro Sekunde durch den Kurzschlussbügel. Damit ergibt sich \[I = 6,25 \cdot 10^{14} \rm{\frac{1}{s}} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \rm{As} = 0,10\rm{mA}\]

e)Es baut sich ein elektrisches Feld auf, das eine elektrische Kraft mit dem Betrag\(F_{\rm{E}} = q \cdot \frac{U}{d}\) bewirkt, die der magnetischen Kraft entgegenwirkt. Dies geht so lange, bis sich Kräftegleichgewicht zwischen \(F_{\rm{L}}\) und \(F_{\rm{E}}\) einstellt.

f)Es gilt \[q \cdot v \cdot B = q \cdot \frac{U_{\rm{max}}}{d} \Leftrightarrow U_{\rm{max}} = v \cdot B \cdot d \Rightarrow U_{\rm{max}} = 1,0 \cdot 10^4 \rm{\frac{m}{s}} \cdot 0,10 \cdot 10^{-4} \rm{\frac{Vs}{m^2}} \cdot 0,005\rm{m} = 0,5\rm{mV}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern