Die Skizze zeigt das Schema eines Linearbeschleunigers für Protonen. Er besteht aus einer Reihe von im Vakuum stehenden "Driftröhren" 0 bis 6, die durch schmale Spalte voneinander getrennt sind. An den Röhren liegt eine Wechselspannung \(U\) der Frequenz \(f=75\,\rm{MHz}\) mit der Scheitelspannung \(U_0= 6{,}0 \cdot 10^5 \,\rm{V}\) an. (vgl. Skizze).
Die Protonenquelle befindet sich im Rohr 0. Sie liefert Protonen, die mit der Geschwindigkeit \(v_0 = 8{,}0 \cdot 10^6 \,\rm{\frac{m}{s}}\) in den ersten Spalt eintreten. Das Ziel ("Target") befindet sich im Rohr 6.
a)Erläutere qualitativ, warum bei richtiger Abstimmung der Rohrlängen das Ziel von einem pulsierenden Protonenstrahl mit erheblich vergrößerter Geschwindigkeit \(v_{\rm{E}}\) getroffen wird. (10 BE)
b)Berechne, welche Gesamtenergie ein Proton beim Erreichen des Ziels höchstens hat. (12 BE)
c)Berechne für diesen Fall die Geschwindigkeit im Rohr 5 und die Länge, die man für dieses Rohr wählen muss. (10 BE)
d)Die Protonenquelle liefert in Wirklichkeit nicht Protonen streng einheitlicher Geschwindigkeit \(v_0\).
Erläutere qualitativ, warum dies stört, und warum es günstig ist, die Rohrlängen so zu wählen, dass die Protonen in die Beschleunigungsspalte eintreten, bevor die Wechselspannung ihr Maximum erreicht hat. (10 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Länge der Rohre wird so abgestimmt, dass ein Proton nach einer halben Periode der angelegten Wechselspannung jeweils beim Scheitelwert der Spannung den Zwischenraum zwischen zwei Triftröhren durchläuft, dadurch wird das Proton dort zusätzlich durch das elektrische Feld beschleunigt.
b)Die Gesamtenergie setzt sich aus der Anfangsenergie\[{E_{{\rm{kin,0}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \Rightarrow {E_{{\rm{kin,0}}}} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}67 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {8{,}0 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 5{,}3 \cdot {10^{ - 14}}\,{\rm{J}} = 0{,}33\,{\rm{MeV}}\]und den in den 6 Spalten zusätzlichen Beschleunigungsenergien von jeweils\[{E_1} = e \cdot {U_0} \Rightarrow {E_1} = e \cdot 6{,}0 \cdot {10^5}\,{\rm{V}} = 6{,}0 \cdot {10^5}\,{\rm{eV}} = 0{,}60\,{\rm{MeV}}\]Damit ergibt sich\[{E_{{\rm{kin,ges}}}} = {E_{{\rm{kin,0}}}} + 6 \cdot {E_1} = 0{,}33\,{\rm{MeV}} + 6 \cdot 0{,}60\,{\rm{MeV}} = 3{,}93\,{\rm{MeV}}\]und damit\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_0} + {E_{{\rm{kin,ges}}}} = 938{,}28\,{\rm{MeV}} + 3{,}93\,{\rm{MeV}} = 942{,}21\,{\rm{MeV}}\]
c)Nach 5 Spalten beträgt die kinetische Energie\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,5}}}} = {E_{{\rm{kin,0}}}} + 5 \cdot {E_1} = 0{,}33\,{\rm{MeV}} + 5 \cdot 0{,}60\,{\rm{MeV}} = 3{,}33\,{\rm{MeV}}\]Aus\[{E_{{\rm{kin,5}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_5^2 \Rightarrow {v_5} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin,5}}}}}}{m}} \]erhält man nach Einsetzen der gegebenen Größen\[{E_{{\rm{kin,5}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_5^2 \Rightarrow {v_5} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 3{,}33 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}}{{1{,}67 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}}} = 2{,}53 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Damit erhält man für die gesuchte Länge \(l\)\[l = \frac{T}{2} \cdot {v_5} = \frac{{{v_5}}}{{2 \cdot f}} \Rightarrow l = \frac{{2{,}53 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2 \cdot 75 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}169\,{\rm{m}} = 16{,}9\,{\rm{cm}}\]
d)Bei den Untersuchungen wäre eine genaue Kenntnis der Auftreffenergie sinnvoll. Damit eine gleiche Geschwindigkeit erreicht wird, werden die Länge der Driftröhren so eingestellt, dass die meisten Protonen ankommen, wenn die Spannung noch nicht ihr Maximum erreicht hat. Schnellere Protonen treten zu früh ein, auf sie wirkt nur eine geringe Beschleunigungskraft, langsamere treten später ein, auf sie wirkt eine erhöhte Beschleunigungskraft. Dadurch kommt es zur Geschwindigkeitsanpassung (-fokussierung) des Protonenstroms.
