Seit Herbst 1998 verwendet die NASA eine Raumsonde mit Ionenantrieb. Dabei werden einfach positiv geladene Xenon-Ionen zwischen zwei Gittern beschleunigt, die wie ein Plattenkondensator wirken. Die über den ganzen Gitterabstand beschleunigten Ionen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit verlassen die Raumsonde und erzeugen dabei den nötigen Rückstoß. Die Spannung zwischen den Gittern beträgt \(1280\,\rm{V}\), ihr Abstand ist \(5{,}0\,\rm{cm}\). Ein Xenon-Ion hat die Masse \(2{,}18\cdot 10^{-25}\,\rm{kg}\) und die Raumsonde hat die Masse \(486\,\rm{kg}\).
a)Mit welcher Geschwindigkeit verlassen die Ionen die Sonde? (4 BE)
b)Berechnen Sie die elektrische Kraft auf die \(2{,}2\cdot 10^{13}\) Ionen, die jeweils gleichzeitig zwischen den Gittern sind! [zur Kontrolle: 90mN] (5 BE)
c)Wie viele Stunden würde es dauern, um die Raumsonde von 0 auf 100 km/h zu beschleunigen, wenn keine weiteren Kräfte wirken? Der Masseverlust durch das Austreten der Ionen ist zu vernachlässigen. (6 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Das elektrische Feld verrichtet an den Ionen Beschleunigungsarbeit. Die kinetische Energie der Ionen beim Austritt ist gleich der Feldarbeit, so dass gilt\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = q \cdot U \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot q \cdot U}}{m}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 1280{\rm{V}}}}{{2,18 \cdot {{10}^{ - 25}}{\rm{kg}}}}} = 43,3 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
b)Für die Kraft auf ein Teilchen gilt\[F_e = q \cdot E\]und für den Betrag der resultierenden Kraft gilt dann\[{F_{{\rm{res}}}} = N \cdot {F_e} = N \cdot q \cdot \frac{U}{d} \Rightarrow {F_{{\rm{res}}}} = 2,2 \cdot {10^{13}} \cdot 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot \frac{{1280{\rm{V}}}}{{5,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = 90{\rm{mN}}\]
c)Nach dem 3. NEWTON'schen Axiom wirkt die Reaktionskraft zu \({{{\vec F}_{{\rm{res}}}}}\) auf die Sonde. Diese Reaktionskraft ist vom gleichen Betrag wie \({{{\vec F}_{{\rm{res}}}}}\). Wenn nur die konstante Kraft \({{{\vec F}_{{\rm{res}}}}}\) auf die Sonde wirkt, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit. Für die Beschleunigung gilt dann\[{F_{{\rm{res}}}} = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m}\]Für die Geschwindigkeit gilt dann\[v = a \cdot t = \frac{{{F_{{\rm{res}}}}}}{m} \cdot t\]und die Zeitdauer berechnet sich zu\[t = \frac{{v \cdot m}}{{{F_{{\rm{res}}}}}} \Rightarrow t = \frac{{100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \cdot 486{\rm{kg}}}}{{90 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}}}} = \frac{{\frac{{100}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 486{\rm{kg}}}}{{90 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}}}} = 1,5 \cdot {10^5}{\rm{s}} \approx 42{\rm{h}}\]
