Bewegte Ladungen in Feldern

Im elektrischen Feld wirkt auf die positiven Ionen eine konstante elektrische Kraft, die eine konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung zur Folge hat (ohne Anfangsgeschwindigkeit). In x-Richtung wirkt keine Kraft, so dass in x-Richtung eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v_x vorliegt.

Berechnung der Laufzeit \(t_F\) im Kondensator\[l = {v_x} \cdot {t_F} \Leftrightarrow {t_F} = \frac{l}{{{v_x}}} \Rightarrow {t_F} = \frac{{4,0 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{1,2 \cdot {{10}^6}}}\frac{{\rm{m}}}{{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\]Berechnung der Geschwindigkeit in y-Richtung am Ende des Kondensators: Auf das Teilchen wirkt die elektrische Kraft\[F_{el} = e \cdot E \Rightarrow F_{el} = e \cdot \frac{U}{d}\quad(1)\]Nach Newton II folgt dann für die Beschleunigung in y-Richtung\[F_{el} = m \cdot a_y \Rightarrow a_y = \frac{F_{el}}{m}\quad(2)\]Für die konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung gilt\[v_y = a_y \cdot t\quad(3)\]Für die Vertikalgeschwindigkeit am Kondensatorende muss man in (3) die Zeit \(t_F\) einsetzen. Berücksichtigt man auch noch die Gleichungen (1) und (2) so ergibt sich\[{v_y} = \frac{{e \cdot U}}{{m \cdot d}} \cdot {t_F} \Rightarrow {v_y} = \frac{{9,6 \cdot {{10}^7} \cdot 3,0 \cdot {{10}^3}}}{{2,0 \cdot {{10}^{ - 2}}}} \cdot 3,3 \cdot {10^{ - 8}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4,8 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Hinweis: Verwenden - wenn möglich - immer gleich die spezifische Ladung des Teilchens (e/m), du sparst damit eine Rechenoperation!

Die Weite \(\alpha\) des Winkels, den die Bahn nach Verlassen des Kondensators mit der Horizontalen bildet, könnte aus der Steigung der Bahn am Ende des Kondensators (Ableitung der Bahngleichung) bestimmt werden. Hier geht es schneller, wenn man die Vertikal- und die Horizontalgeschwindigkeit in Beziehung setzt:\[\tan \left(\alpha \right) = \frac{v_y}{v_x} \Rightarrow \tan \left(\alpha \right) = \frac{4{,}8 \cdot 10^5}{12 \cdot 10^5} = 0{,}40 \Rightarrow \alpha = 22^\circ\]

Nach Teilaufgabe a) kann man für die Vertikalgeschwindigkeit schreiben: \[v_y = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t_F\]Weiter gilt\[t_F = \frac{l}{v_x}\]Daraus ergibt sich\[v_y = \frac{e \cdot U \cdot l}{m\cdot d \cdot v_x}\]Man sieht aus der Beziehung, dass die Vertikalgeschwindigkeit indirekt proportional zur Masse des eingeschossenen Teilchens ist, wenn die anderen Größen fest gehalten werden.

Da die Masse des Heliumions etwa viermal so groß ist wie die Masse des Wasserstoffions, ist die Vertikalgeschwindigkeit des Heliumions beim Verlassen des Kondensators nur ein Viertel der des Wasserstoffions. Damit verringert sich der Tangens von \(\alpha\) und somit auch \(\alpha\) selbst.