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Aufgabe

Erzeugung eines Ionenstrahls (Abitur BY 2008 GK A1-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Neue Detektoren müssen vor ihrem Einsatz geeicht werden. Dazu leitet man einen Strahl aus Ionen bekannter Masse, bekannter Ladung und bekannter Energie in den Detektor und untersucht dessen Reaktion. In der Abbildung ist der vereinfachte Aufbau einer Anlage zur Erzeugung eines solchen Strahls dargestellt.

Aus einer Ionenquelle treten \({{\rm{O}}^{6 + }}\)-Ionen (\(m = 16\,{u}\)) mit vemachlässigbarer Anfangsenergie in das homogene Feld eines Plattenkondensators. Nach Durchlaufen des Kondensators verlassen die Ionen diesen durch ein kleines Loch in der negativ geladenen Platte. Die beschleunigten Ionen werden im Feld des sogenannten Sektormagneten um \(90^\circ \) abgelenkt. Das als homogen angenommene Feld der Flussdichte \(B = 0{,}30\,\rm{T}\) wird von einem Permanentmagneten erzeugt. Ionen, die sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r = 3{,}50\,\rm{cm}\) bewegen, treten genau durch die Mitte der Blende nach dem Magnetfeld.

a)Berechne die Geschwindigkeit \(v\) der \({{\rm{O}}^{6 + }}\)-Ionen, die die Blende durch deren Mitte passieren. [zur Kontrolle: \(v = 3{,}8 \cdot 10^5\,\rm{\frac{m}{s}}\)] (6 BE)

b)Berechne die Beschleunigungsspannung \(U_1\), die am Kondensator anliegt. [zur Kontrolle: \(U_1 = 2{,}0\,\rm{kV}\)] (5 BE)

c)Aus der Ionenquelle treten auch Ionen anderer Sauerstoff-Isotope aus. Durch die Blende können alle Ionen treten, die sich auf Kreisbahnen mit \(3{,}45\,{\rm{cm}} < r < 3{,}55\,{\rm{cm}}\) bewegen.

Begründe rechnerisch, dass die Sauerstoff-Ionen der Masse \(18\,{u}\) und der Ladung \(+6e\) die Blende nach dem Sektormagneten nicht passieren können, wenn die Beschleunigungsspannung \(U_1\) gleich bleibt. (8 BE)

Nach der Blende werden die Ionen durch ein weiteres elektrisches Feld auf die gewünschte Energie beschleunigt. Bei dem hier beschriebenen Aufbau werden dafür Spannungen zwischen wenigen Kilovolt und \(450\,\rm{kV}\) angelegt.

d)Erläutere, warum die Beschleunigung der Ionen in zwei Phasen aufgeteilt wird. Überlege dazu, welche Auswirkungen es hätte, wenn die Ionen bereits vor dem Sektormagneten die volle Beschleunigungsspannung von bis zu \(450\,\rm{kV}\) durchlaufen würden. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Wir berechnen die Ionen-Geschwindigkeit aus dem Teil einer Kreisbahn im Sektormagneten. Dort wirkt die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft und es ergibt sich\[{\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = q \cdot v \cdot B \Leftrightarrow v = \frac{{q \cdot B \cdot r}}{m}\underbrace  = _{{\rm{hier}}}\frac{{6 \cdot e \cdot B \cdot r}}{{16 \cdot u}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v = \frac{{6 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}} \cdot 0{,}30\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 3{,}50 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}{{16 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}}  = 3{,}8 \cdot {{10}^5}\, \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]

b)Die elektrische Energie der Ionen zu Beginn der Beschleunigungsstrecke wird vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Damit ergibt sich\[{q \cdot {U_1} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Leftrightarrow {U_1} = \frac{{m \cdot {v^2}}}{{2 \cdot q}}\underbrace  = _{{\rm{hier}}}\frac{{16 \cdot u \cdot {v^2}}}{{2 \cdot 6 \cdot e}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{U_1} = \frac{{16 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {3{,}8 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 6 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}}}} = 2{,}0\,{\rm{kV}}}\]

c)Wir berechnen zuerst die Geschwindigkeit \(v'\) der Ionen mit \(m'=18\,\rm{u}\) nach Passieren der Spannung \(U_1\):\[{q \cdot {U_1} = \frac{1}{2} \cdot m' \cdot {{v'}^2} \Rightarrow v' = \sqrt {\frac{{2 \cdot q \cdot {U_1}}}{{m'}}} \underbrace  = _{{\rm{hier}}}\sqrt {\frac{{2 \cdot 6 \cdot e \cdot {U_1}}}{{18 \cdot u}}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v' = \sqrt {\frac{{2 \cdot 6 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}} \cdot 2{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}}}{{18 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}}}  = 3{,}6 \cdot \, {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]Dann berechnen wir den Radius \(r’\) im Magnetfelde des Sektors:\[{\frac{{m' \cdot {{\left( {v'} \right)}^2}}}{{r'}} = q \cdot v \cdot B \Rightarrow r' = \frac{{m' \cdot v'}}{{q \cdot B}}\underbrace  = _{{\rm{hier}}}\frac{{18 \cdot u \cdot v'}}{{6 \cdot e \cdot B}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{r' = \frac{{18 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}} \cdot 3{,}6 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{6 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}} \cdot 0{,}30\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 3{,}7\,{\rm{cm}}}\]Da \({r' > 3{,}55\,{\rm{cm}}}\) ist, können diese Ionen die Blende nicht passieren.

d)Bei voller Spannung in der ersten Beschleunigungsphase (\(450\,\rm{kV}\)) hätten die Teilchen nach dem Kondensator eine erheblich größere Geschwindigkeit. Damit der Magnet diese nun wesentlich schnelleren Teilchen um \(90^\circ \) ablenken kann, müsste die Flussdichte deutlich höher sein oder der Magnet viel größere Abmessungen haben. Beides ist technisch aufwändig und sehr teuer.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern