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Aufgabe

e/m nach BUSCH (Abitur BY 2007 LK A1-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze des Versuchsaufbaus

In einer Versuchsanordnung nach Hans BUSCH (1884 - 1973) aus dem Jahr 1926 befindet sich eine BRAUN'sche Röhre im homogenen Magnetfeld einer Spule (siehe Skizze). Elektronen aus der Glühkathode G werden in \(x\)-Richtung durch die Spannung \(U_{\rm{B}}\) beschleunigt. Sie gelangen horizontal mit der Geschwindigkeit \(v_x\) in das homogene elektrische Feld des Kondensators K der Länge \(l\) mit Plattenabstand \(d\) und angelegter Spannung \(U_{\rm{A}}\). Nach der Ablenkung im Kondensator bewegen sich die Elektronen auf einer Schraubenbahn, bis sie auf den Schirm im Abstand \(s\) treffen (gemessen von der Mitte M des Kondensators). In der Frontalansicht des Schirmes ist gepunktet die Projektion der Schraubenbahn auf die Schirmebene eingezeichnet.

Das Magnetfeld ist zunächst ausgeschaltet.

a)

Bestimme allgemein die Geschwindigkeit \(v_x\), mit der die Elektronen in den Ablenkkondensator eintreten (nichtrelativistische Rechnung). (3 BE)

b)

Bestimme allgemein die Geschwindigkeitskomponente \(v_y\) der Elektronen am Ende des Kondensators K. (8 BE) [zur Kontrolle: \({v_y} = \frac{{l \cdot {U_{\rm{A}}}}}{d} \cdot \sqrt {\frac{e}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {U_{\rm{B}}}}}} \)]

Nun wird das Magnetfeld eingeschaltet. Wegen der geringen Länge \(l\) des Kondensators kann vereinfachend angenommen werden, dass die \(y\)-Ablenkung der Elektronen am Kondensatormittelpunkt M geschieht und sie hier die in Teilaufgabe b) berechnete Geschwindigkeitskomponente \(v_y\) erhalten.

c)

Begründe, warum die Bewegung der Elektronen bis zur Ablenkung im Kondensator nicht durch das Magnetfeld beeinflusst wird. Erläutere, warum sich die Elektronen nach der Ablenkung im Kondensator auf einer Schraubenbahn bewegen. Zeige, dass für den Radius \(r\) der Schraubenbahn der Elektronen sowie für ihre Umlaufdauer \(T\) die folgenden Formeln gelten. (14 BE)\[r = \frac{{l \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot B}} \cdot \sqrt {\frac{m_{\rm{e}}}{{2 \cdot {e} \cdot {U_{\rm{B}}}}}} \;;\;T = \frac{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot \pi }}{{e \cdot B}}\]

d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Schirmbild

Die Feldstärke \(B\) wird nun so eingestellt, dass die Elektronen nach einem halben Umlauf auf ihrer Schraubenbahn auf den Schirm treffen. Ihren Auftreffpunkt P sowie die Projektion ihrer Flugbahn auf den Schirm zeigt Abb. 2.

Übertrage nebenstehende Skizze auf dein Blatt.

Ergänze die Auftreffpunkte A bzw. B der Elektronen für die Fälle, dass jeweils nur die Ablenkspannung bzw. nur die magnetische Flussdichte halbiert wird. (6 BE)

Zur Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen wird bei konstanter Ablenkspannung \(U_{\rm{A}}\) die Feldstärke \(B\) von Null beginnend so lange erhöht, bis die Elektronen beim Wert \(B_1\) nach einem vollen Umlauf auf einer Schraubenbahn den Schirm treffen.

e)

Erläutere, wie sich am Schirmbild erkennen lässt, dass der Wert \(B_1\) erreicht wurde.

Berechne den Betrag der spezifischen Ladung von Elektronen aus den folgenden Messwerten: \(B_1=1{,}88\,\rm{mT}\), \(U_{\rm{B}}=800\,\rm{V}\), \(s=32\,\rm{cm}\). (9 BE)

f)

Begründe folgende Aussagen (8 BE):

  • Bei abgeschaltetem Magnetfeld erscheint eine vertikale Strecke auf dem Schirm.

  • Erhöht man die Feldstärke vom Wert \(0\) an, so dreht sich die Strecke. (Hinweis: Es muss nicht nachgewiesen werden, dass auf dem Schirm wieder eine Strecke erscheint.)

  • Erreicht die Feldstärke den Wert \(B_1\), so schrumpft die Strecke auf einen Punkt zusammen.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

Berechnung der Horizontalgeschwindigkeit:\[\frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot v_x^2 = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Rightarrow {v_x} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}}\quad(1)\]

b)

Konstant beschleunigte Bewegung in \(y\)-Richtung:\[{v_y} = {a_y} \cdot t = \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot t = \frac{{e \cdot E}}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot t = \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{e}}} \cdot d}} \cdot t \quad (2)\]Für die Flugzeit durch den Kondensator gilt\[t = \frac{l}{{{v_x}}} = l \cdot \sqrt {\frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}} \quad(3)\]Setzt man \((3)\) in \((2)\) ein, so folgt\[{v_y} = \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{e}}} \cdot d}} \cdot l \cdot \sqrt {\frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}}  = \frac{{l \cdot {U_{\rm{A}}}}}{d} \cdot \sqrt {\frac{e}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {U_{\rm{B}}}}}} \quad(4)\]

c)

Vor dem Kondensator bewegen sich die Elektronen parallel zur Richtung des Magnetfelds. In diesem Fall tritt keine LORENTZ-Kraft auf, die Elektronen werden durch das Magnetfeld somit nicht beeinflusst.

Ab der Mitte des Kondensators kann man von einer Geschwindigkeitskomponente \(v_y\) senkrecht zur Magnetfeldrichtung ausgehen. Es tritt eine LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft auf. Hätte das Elektron keine Geschwindigkeit in \(x\)-Richtung, würde dies zu einer Kreisbahn führen.

Die Überlagerung der Translationsbewegung in \(x\)-Richtung und der Kreisbewegung in der \(y\)-\(z\)-Ebene führt zu einer Schraubenbahn.

Berechnung des Radius der Schraubenbahn: Die LORENTZ-Kraft \(F_{\rm{L}}\) wirkt als Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\). Somit gilt\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{e}}} \cdot \frac{{v_y^2}}{r} = e \cdot {v_y} \cdot B \Leftrightarrow r = \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot {v_y}}}{{e \cdot B}}\]Mit Gleichung \((4)\) ergibt sich weiter\[r = \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{e \cdot B}} \cdot \frac{{l \cdot {U_{\rm{A}}}}}{d} \cdot \sqrt {\frac{e}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {U_{\rm{B}}}}}}\]Bringt man \(\frac{m_{\rm{e}}}{e}\) durch quadrieren unter die Wurzel und kürzt führt dies zu gesuchten Formel: \[\Rightarrow r= \frac{{l \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot B}} \cdot \sqrt {\frac{m_{\rm{e}}}{{2 \cdot {e} \cdot {U_{\rm{B}}}}}}\]Berechnung der Umlaufdauer \(T\):\[r = \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot {v_y}}}{{e \cdot B}} \Leftrightarrow \frac{r}{{{v_y}}} = \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{e \cdot B}} \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{{{v_y}}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {m_{\rm{e}}}}}{{e \cdot B}}\]Mit \(T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{{{v_y}}}\) ergibt sich dann die gesuchte Formel für die Umlaufdauer\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {m_{\rm{e}}}}}{{e \cdot B}} \quad(5)\]

d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Schirmbild

Wird die Ablenkspannung halbiert, so halbiert sich auch der Radius der Kreisbahn. Da die Umlaufdauer unabhängig von \(v_y\) ist und B gleich bleibt, durchläuft das Elektron eine halbe Schraubenbahn und landet bei A.

Wird die magnetische Feldstärke halbiert, so verdoppelt sich der Radius der Kreisbahn und die Umlaufdauer. Bis zum Schirm durchläuft das Elektron dann nur ein Viertel einer Schraubenbahn.

e)

Der Wert \(B_1\) ist erreicht, wenn der Leuchtpunkt am Schirm erstmals wieder den Koordinatenursprung erreicht hat.

Während dieser vollen Umlaufzeit \(T\) legt der Strahl in horizontaler Richtung die Strecke \(s\) mit der Geschwindigkeit \(v_x\) zurück. Deshalb gilt\[T = \frac{s}{{{v_x}}}\]Mit den Gleichungen \((1)\) und \((5)\) ergibt sich\[\frac{{2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot \pi }}{{e \cdot B}} = \frac{s}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}} }} = \frac{{s \cdot \sqrt {{m_{\rm{e}}}} }}{{\sqrt {2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}} }}\]Quadrieren, Umformen und Auflösen nach \(\frac{e}{m_{\rm{e}}}\) liefert\[\frac{{4 \cdot {m_{\rm{e}}}^2 \cdot {\pi ^2}}}{{{e^2} \cdot {B^2}}} = \frac{{{s^2} \cdot {m_{\rm{e}}}}}{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{e} = \frac{{{s^2} \cdot {B^2}}}{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot {U_{\rm{B}}}}} \Leftrightarrow \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{s^2} \cdot {B^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{8 \cdot {\pi ^2} \cdot 800\,{\rm{V}}}}{{{{\left( {0{,}32\,{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {1{,}88 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{T}}} \right)}^2}}} = 1{,}7 \cdot {10^{-11}}\,\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]

f)

Für \(B= 0\) gilt: Bei abgeschaltetem Magnetfeld erfolgt nur eine Ablenkung der Elektronen durch das elektrische Feld des Kondensators. Je nach Phasenlage der Spannung \(U_{\rm{A}}(t)\) erfolgt eine unterschiedliche starke Ablenkung in \(y\)-Richtung, auf dem Schirm entsteht eine vertikale Strecke.

Für \(0 < B < B_1\) gilt: Durch das Magnetfeld tritt zusätzlich zur elektrischen Kraft die LORENTZ-Kraft auf, so dass für \(U_{\rm{A}}>0\) der Auftreffpunkt nicht mehr auf der \(y\)-Achse liegt. Für \(U_{\rm{A}}=0\) landen die Elektronen im Ursprung. Insgesamt erfolgt gegenüber der ersten Situation eine Drehung.

Für \(B = B_1\) gilt: Unabhängig von der Phasenlage der Spannung \(U_{\rm{A}}(t)\) vollführen die Elektronen einen vollen Umlauf der Schraubenlinie und treffen im Koordinatenursprung auf den Schirm.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern