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Aufgabe

Elektronen in elektrischen und magnetischen Feldern (Abitur BY 2017 Ph11 A1-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1

Mit dem skizzierten Versuchsaufbau können Elektronenbahnen in elektrischen und magnetischen Feldern untersucht werden. In einem evakuierten Glaskolben befinden sich ein Plattenkondensator (Plattenabstand \(d = 6{,}0\,\rm{cm}\)) und eine Elektronenquelle (EQ). In dieser wird durch Anlegen einer Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) ein Strahl von Elektronen der Geschwindigkeit \(v_0\) erzeugt, der parallel zu den Platten mittig in den Kondensator eintritt. Auf einem Leuchtschirm der Länge \(10\,\rm{cm}\) wird die Bahn der Elektronen sichtbar.

a)Erläutere mithilfe einer beschrifteten Skizze das Funktionsprinzip einer für den Versuch geeigneten Elektronenquelle.

Leite die Formel\[{v_0} = \sqrt {2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}} \]her.

Begründe, dass diese für \(U_{\rm{B}}=1{,}5\,\rm{kV}\) sinnvoll verwendet werden kann. (9 BE)

Zunächst wird durch Anlegen einer Ablenkspannung \(U_{\rm{A}}\) an die Kondensatorplatten nur ein elektrisches Feld erzeugt. Vereinfachend wird angenommen, dass es homogen und auf den Bereich des Leuchtschirms begrenzt ist.

b)Leite aus den Bewegungsgleichungen für die \(x\)- und für die \(y\)-Richtung (siehe Abbildung) die Gleichung der Bahnparabel\[y\left( x \right) = \frac{1}{{4 \cdot d}} \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{{{U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\]her.

Bestimme für \(U_{\rm{B}}=1{,}5\,\rm{kV}\) die zu Bahn (1) gehörende Ablenkspannung \(U_{\rm{A}}\). (9 BE)

c)Ein Schüler behauptet: „Schnellere Elektronen bewegen sich immer auf einer flacheren Bahn!“ Die Lehrkraft dreht an den Knöpfen der Spannungsquellen und meint: „Falsch gedacht!“

Formuliere je eine mögliche Argumentation des Schülers und der Lehrkraft. (6 BE)

Durch das Spulenpaar fließt nun ein Strom, der im Bereich des Plattenkondensators ein homogenes magnetisches Feld erzeugt. Die Stromstärke wird so eingestellt, dass sich die Elektronen längs der \(x\)-Achse bewegen (Bahn (2)).

d)Ergänze in der Abbildung die Orientierung des Magnetfelds und die Bewegungsrichtung der Elektronen in den Spulen.

Weise nach, dass für \(U_{\rm{B}}=1{,}5\,\rm{kV}\) und \(U_{\rm{A}}=0{,}84\,\rm{kV}\) die magnetische Flussdichte \(B = 0{,}61\,\rm{mT}\) beträgt. (8 BE)

Schließlich wird die Spannungsquelle des Plattenkondensators ausgeschaltet. Als Bahn der Elektronen ergibt sich nun ein Kreisbogen mit Radius \(21\,\rm{cm}\).

e)Beschreibe und erkläre die Veränderung der Elektronenbahn, wenn man die Stromstärke im Spulenpaar erhöht. (4 BE)

f)Um einen größeren Ausschnitt des Kreisbogens auf dem Leuchtschirm darstellen zu können, wird sein Radius auf \(3{,}0\,\rm{cm}\) verkleinert.

Skizziere den Bogen in der Abbildung.

Bestimme ein sinnvolles Wertepaar (\(U_{\rm{B}}\) | \(B\)), bei dem sich dieser Radius ergibt. (8 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2

a)Ein gewundener Draht (Glühwendel), der sich in einem evakuierten Raum befindet, wird von einem so hohen Strom durchflossen, dass er zum Glühen kommt. Dadurch treten Elektronen aus dem Draht aus, die dann in dem elektrischen Feld (hervorgerufen durch die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\)) zwischen Glühwendel und Anode beschleunigt werden. Durch ein Loch in der Anode A gelangen die schnellen Elektronen mit der Geschwindigkeit \(v_0\) in das elektrische Feld des skizzierten Plattenkondensators.

Für den nicht relativistischen Fall gilt aufgrund der Energieerhaltung\[e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot v_0^2 \Rightarrow {v_0} = \sqrt {2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}} \]Für \({U_{\rm{B}}} = 1{,}5 \cdot {10^3}\,{\rm{V}}\) gilt\[{v_0} = \sqrt {2 \cdot \frac{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{9{,}1 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}}}} \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}} = 2{,}3 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Diese Geschwindigkeit ist kleiner als ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit, so dass diese nichtrelativistische Rechnung zulässig war.

b)In \(x\)-Richtung: Gleichförmige Bewegung mit \(v_0\):\[x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}} \quad(1)\]In \(y\)-Richtung: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit in Richtung zur positiv geladenen Platte:\[y = \frac{1}{2} \cdot {a_y} \cdot {t^2} \quad(2)\]Schließlich gilt\[{a_y} = \frac{{{F_y}}}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{e \cdot E}}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}}}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot {m_{\rm{e}}}}}(3)\]Einsetzen von \((1)\) und \((3)\) in \((2)\) ergibt\[y = \frac{1}{2} \cdot \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot {m_{\rm{e}}}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{v_0^2}}\quad(4)\]Setzt man schließlich noch das Ergebnis von Teilaufgabe a) in \((4)\) ein, so folgt\[y = \frac{1}{2} \cdot \frac{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot {m_{\rm{e}}}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}}} = \frac{1}{{4 \cdot d}} \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{{{U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\quad(5)\]Bestimmung der Ablenkspannung \({{U_{\rm{A}}}}\) für \(x = 8{,}0\,\rm{cm}\), \(y = 1{,}5\,\rm{cm}\) und \(d = 6{,}0\,\rm{cm}\) ergibt\[{U_{\rm{A}}} = \frac{{y \cdot 4 \cdot d \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{x^2}}} \Rightarrow {U_A} = \frac{{1{,}5\,{\rm{cm}} \cdot 4 \cdot 6{,}0\,{\rm{cm}} \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}}}{{{{\left( {8{,}0\,{\rm{cm}}} \right)}^2}}} = 0{,}84\,{\rm{kV}}\]

c)Argument im Sinne des Schülers: Wenn \(U_{\rm{A}}\) konstant bleibt, dann wird mit steigendem \(U_{\rm{B}}\), d.h. bei schnelleren Elektronen, die Ablenkung \(y\) geringer, die Bahnkurve wird flacher.

Bei Manipulation am Netzgerät kann es aber auch zu einer steileren Kurve kommen, obwohl die Elektronen schneller sind: Verdoppelt man z.B. \(U_{\rm{B}}\) (schnellere Elektronen) und verdreifacht man gleichzeitig \(U_{\rm{A}}\) so kommt es zu einer steileren Kurve.

d)Wenn sich die Elektronen entlang der \(x\)-Achse bewegen, heben sich die nach oben gerichtete elektrische Kraft \({\vec F_{{\rm{el}}}}\) und die nach unten gerichtete LORENTZ-Kraft \({\vec F_{{\rm{L}}}}\) gerade auf. In diesem Fall muss das homogene Magnetfeld in die Zeichenebene gerichtet sein (Drei-Finger-Regel der linken Hand). Die Elektronen bewegen sich in der magnetfelderzeugenden Spule im Gegenuhrzeigersinn.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3

Für die vorgegebenen Spannungswerte müssen die Beträge \({F_{{\rm{el}}}} = e \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}\) der elektrischen Kraft und \({F_{\rm{L}}} = e \cdot {v_0} \cdot B\) der LORENTZ-Kraft gleich groß sein, d.h. das Verhältnis dieser Kraftbeträge sollte \(1\) betragen:\[\frac{{{F_{\rm{el}}}}}{{{F_{\rm{L}}}}} = \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}}}{{e \cdot {v_0} \cdot B}} = \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot {v_0} \cdot B}}\]Einsetzen der gegebeben Werte liefert\[\frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{F_{\rm{L}}}}} = \frac{{0{,}84 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}}}{{6{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}} \cdot 2{,}3 \cdot 10^7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}61 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{T}}}} = 1{,}0\]

e)Eine Erhöhung des Spulenstroms bedeutet eine Vergrößerung der magnetischen Flussdichte \(B\) und damit eine Vergrößerung des Betrags \(F_{\rm{L}}\) LORENTZ-Kraft, welche die Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung darstellt. Eine Vergrößerung des Betrags der Zentripetalkraft bedeutet aber eine Verkleinerung des Radius der Kreisbahn.

f)Die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft stellt die LORENTZ-Kraft dar:\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot v_0^2}}{r} = e \cdot {v_0} \cdot B \Leftrightarrow {v_0} = \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot r \cdot B\]Mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a) folgt \[\sqrt {2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}} = \frac{e}{{{m_e}}} \cdot r \cdot B \Leftrightarrow B = \sqrt {2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}} \cdot \frac{{{m_e}}}{e} \cdot \frac{1}{r} = \sqrt {2 \cdot \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{e} \cdot {U_{\rm{B}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}} \]Wählt man für \(U_{\rm{B}} =1{,}5\,\rm{kV}\), so ergibt sich \[B = \sqrt {2 \cdot \frac{{9{,}1 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {3{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}} = 4{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{T}}\]Eine mögliche Kombination wäre \(U_{\rm{B}} =1{,}5\,\rm{kV}\) und \(B = 4{,}0\,\rm{mT}\).

Nicht gefordert, aber lehrreich ist die Einheitenrechnung:\[\left[ B \right] = \sqrt {\frac{{\left[ {{m_{\rm{e}}}} \right]}}{{\left[ e \right]}} \cdot \left[ {{U_{\rm{B}}}} \right] \cdot \frac{1}{{{{\left[ r \right]}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot {\rm{V}} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot \frac{{{{\rm{V}}^2}}}{{\rm{V}}} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot {{\rm{V}}^2} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}} \]und weiter\[\left[ B \right] = \sqrt {\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{J}}} \cdot {{\rm{V}}^2} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{\rm{kg}}}}{{\frac{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \cdot {{\rm{V}}^2} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot {{\rm{V}}^2} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^4}}} \cdot {{\rm{V}}^2}} = \frac{{{\rm{s}} \cdot {\rm{V}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = {\rm{T}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern