Entsprechend der untenstehenden Abbildung werden kontinuierlich α-Teilchen eines radioaktiven Präparates mit der Geschwindigkeit v = 1,2·106m/s in einen ungeladenen Plattenkondensator (Plattenabstand d = 1,0cm) eingeschossen. Die untere Platte dieser Anordnung, die sich im Vakuum befindet, ist geerdet. Zwischen den Platten besteht ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B = 40mT, dessen Feldlinien senkrecht zur Zeichenebene verlaufen.
a)Erläutern Sie anhand einer Skizze, dass bei geeigneter Orientierung der Magnetfeldlinien eine Spannung Us zwischen den Platten entstehen kann. (4 BE)
b)Welche Spannung Uk müsste am Kondensator anliegen, damit ihn die α-Teilchen geradlinig durchqueren. Warum wird die Spannung Us aus Teilaufgabe a den Wert Uk nicht erreichen? (5 BE)
Im Folgenden sind beide Platten geerdet, so dass kein elektrisches Feld entstehen kann.
c)Warum bewegen sich die α-Teilchen jetzt im Kondensator auf einem Kreisbogen? Berechnen Sie den Radius dieser Kreisbahn. [zur Kontrolle: r = 62cm] (6 BE)
d)Wie lang müssen die Kondensatorplatten mindestens sein, damit kein α -Teilchen den Kondensator verlassen kann? Fertigen Sie hierzu eine Skizze an. (5 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Ist das Magnetfeld senkrecht in die Zeichenebene gerichtet, so werden die zweifach positiv geladenen α-Teilchen nach oben abgelenkt. Dadurch wird die obere Platte positiv und (aufgrund der elektrischen Influenz) die untere Platte negativ aufgeladen, so dass eine Spannung Us zwischen den Platten entsteht.
b)Bei geradliniger Durchquerung des Kondensators müssten sich die nach oben gerichtete Lorentzkraft und die nach unten gerichtete elektrische Kraft die Waage halten.\[F_{el}=F_{l} \Rightarrow q \cdot E = q \cdot v \cdot B \Rightarrow \frac {U_k}{d}=v\cdot B \Rightarrow U _{k}= v \cdot B \cdot d \\ \Rightarrow U_{k}=1,2\cdot 10^{6}\cdot 40\cdot 10^{-3}\cdot 0,010\frac{\rm{m\cdot V\cdot s\cdot m}}{\rm{s \cdot m^{2}}}=0,48\rm{kV}\]
Bevor die Spannung Uk erreicht wird, erreichen nicht mehr alle Teilchen die obere Kondensatorplatte vor dem Verlassen des Kondensators. Somit erfolgt keine weitere Plattenaufladung.
c)Die Lorentzkraft ist stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Teilchen. Somit verrichtet der Lorentzkraft keine Beschleunigungsarbeit, d.h. v = const. Wenn aber v konstant ist, so ist auch der Betrag der Lorentzkraft konstant, d.h. es liegt eine konstante, stets zu einem Zentrum gerichtete Kraft vor (Zentripetalkraft). Diese Kraft bedingt die Kreisbahn. Zentripetalkraft = Lorentzkraft\[\frac{m \cdot v^{2}}{r}=q \cdot v \cdot B \\ \Rightarrow r=\frac {m \cdot v}{q \cdot B} \Rightarrow r=\frac {6,64 \cdot 10^{-27} \cdot 1,2 \cdot 10^{6}}{2 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 40 \cdot 10^{-3}}m=0,62m\]
d)Wendet man auf das in der nebenstehenden Zeichnung erkennbare Dreieck den Satz von Pythagoras an, so gilt\[r^{2}=\left (r-\frac{d}{2} \right )^{2}+l_{min}^2 \Rightarrow \\ l_{min}^2=r^2-r^2+r \cdot d - \left (\frac{d}{2}\right )^2 \Rightarrow \\ l_{min}=\sqrt {d \cdot \left (r - \frac {d}{4}\right )} \Rightarrow \\ l_{min}=\sqrt {0,010 \cdot \left (0,62- \frac {0,010}{4}\right )} \rm{m}=0,079 \rm{m}\]Der Kondensator muss mindestens 7,9 cm lang sein, damit ihn kein α-Teilchen verlässt.
