In der Mitte zwischen den ungeladenen quadratischen Metallplatten mit der Kantenlänge 2·d und dem Abstand d treten α-Teilchen so ein, dass sie sich längs der x-Achse bewegen. Nun legt man ein homogenes Magnetfeld \(\vec B\) so an, dass sich die Teilchen auf einem Kreisbogen in der x-y-Ebene nach oben bewegen.
a)Geben Sie die Richtung des magnetischen Feldes an. Warum ändert das Magnetfeld nur die Richtung der Geschwindigkeit und nicht ihren Betrag? (5 BE)
b)Zeigen Sie, dass diejenigen α-Teilchen, die auf die auf die obere Platte auftreffen, Kreisbögen durchlaufen, für deren Radien gilt\[\frac{1}{4} \cdot d\,\,\, \le r\,\,\, \le \frac{{17}}{4} \cdot d\]Skizzieren Sie dazu die beiden Grenzfälle. (10 BE)
c)Berechnen Sie mit Hilfe der beiden Grenzen aus Teilaufgabe b) die maximale und die minimale Geschwindigkeit der α-Teilchen, die die obere Platte treffen, für d = 20cm und B = 2,0mT. (8 BE)
d)Die untere Platte wird nun geerdet, so dass sich zwischen den Platten ein elektrisches Feld aufbaut, wenn die obere Platte von den α-Teilchen getroffen wird. Nach einer gewissen Zeit hat sich auf der oberen Platte die Ladung Q = 7,08·10-9As angesammelt. Die Spannung zwischen den Platten beträgt nun 1,0kV.
Berechnen Sie den Betrag der Feldstärke E zwischen den Platten und geben Sie die Richtung des Feldstärkevektors an (d = 20cm).
Wie viele α-Teilchen haben bislang die obere Platte getroffen?
Berechnen Sie die Geschwindigkeit v jener α-Teilchen, die bei der vorliegenden Feldstärke E den Kondensator geradlinig längs der x-Achse durchfliegen. (10 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Das Magnetfeld muss senkrecht in die Papierebene hinein gerichtet sein (UVW-Regel der rechten Hand).
Die Lorentzkraft steht immer senkrecht zum Bahnelement, also wird durch sie keine Arbeit verrichtet (Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor, bei einem Winkel von 90° wird der Kosinus, welcher beim Skalarprodukt auftaucht zu Null). Wenn aber keine Arbeit verrichtet wird, bleibt die kinetische Energie des Teilchens und somit auch seine Geschwindigkeit konstant.
b)Der minimale Teilchenradius ist dann gegeben, wenn die α-Teilchen beim Punkt A landen. In diesem Fall ist der Bahnradius die Hälfte von d/2.\[{r_{\min }} = \frac{{{\textstyle{d \over 2}}}}{2} \Rightarrow {r_{\min }} = \frac{d}{4}\]Der maximale Radius ist dann gegeben, wenn die α-Teilchen beim Punkt B landen. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras im Dreieck ABM erhält man\[{\left( {{r_{\max }} - \frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {2 \cdot d} \right)^2} = r_{\max }^2\] \[r_{\max }^2 - {r_{\max }} \cdot d + \frac{{{d^2}}}{4} + 4 \cdot {d^2} = r_{\max }^2\]\[{r_{\max }} \cdot d = \frac{{{d^2}}}{4} + \frac{{16 \cdot {d^2}}}{4}\]\[{r_{\max }} = \frac{{17}}{4} \cdot d\]\[\frac{d}{4}\,\, \le \,\,r\,\, \le \,\frac{{17}}{4} \cdot d\]
d)Die untere Platte wird nun geerdet, so dass sich zwischen den Platten ein elektrisches Feld aufbaut, wenn die obere Platte von den α-Teilchen getroffen wird. Nach einer gewissen Zeit hat sich auf der oberen Platte die Ladung Q = 7,08·10-9 As angesammelt. Die Spannung zwischen den Platten beträgt nun 1,0 kV.
Der Vektor der elektrischen Feldstärke ist von der oberen zur unteren Platte gerichtet.\[E = \frac{U}{d} \Rightarrow E = \frac{{1,0 \cdot {{10}^3}}}{{0,20}}\frac{V}{m} = 5,0 \cdot {10^3}\frac{V}{m}\]
Ein α-Teilchen trägt zwei positive Elementarladungen.\[N = \frac{Q}{{2 \cdot e}} \Rightarrow N = \frac{{7,08 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{2 \cdot 1,60 \cdot 1{0^{ - 19}}}} \approx 2,2 \cdot {10^{10}}\]
Bei Teilchen, welche den Kondensator unabgelenkt verlassen, ist der Betrag der Lorentzkraft gleich dem Betrag der elektrischen Kraft:\[q \cdot v \cdot B = q \cdot E \Rightarrow v = \frac{E}{B} \Rightarrow v = \frac{{5,0 \cdot {{10}^3}}}{{2,0 \cdot {{10}^{ - 3}}}}\frac{{{\textstyle{V \over m}}}}{{{\textstyle{{V \cdot s} \over {{m^2}}}}}} = 2,5 \cdot {10^6}\frac{m}{s}\]
