In einer Röntgenröhre treffen Elektronen mit der Geschwindigkeit \(v = 0,3 \cdot c\) auf die Anode.
a)
Zeige durch Rechnung, dass dabei RÖNTGEN-Photonen mit einer maximalen Frequenz \({f_{{\rm{max}}}} = 6{,}0 \cdot {10^{18}}\,{\rm{Hz}}\) entstehen können. (7 BE)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Intensitätsverteilung
Die von der Anode emittierte Strahlung wird nun mit Hilfe einer BRAGG-Apparatur analysiert. Bei Verwendung eines Kristalls mit einem Netzebenenabstand von \(2{,}01 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}\) ergibt sich die nebenstehende Intensitätsverteilung; sie zeigt nur Interferenzen erster Ordnung. \(\vartheta \) ist der Winkel zwischen der einfallenden Strahlung und der Kristalloberfläche.
b)
Berechne die Frequenzen, die zu den Winkeln \({\vartheta_0} = 7{,}2^\circ \), \({\vartheta_1} = 8{,}7^\circ \) und \({\vartheta_3} = 10{,}3^\circ \) gehören. (7 BE)
c)
Erläutere, wie sich die Intensitätsverteilung ändert, wenn entweder die Beschleunigungsspannung der Röhre oder der Heizstrom der Glühkathode erhöht wird.
Begründe deine Antwort. (6 BE)
Im Jahr 1913 fand der englische Physiker Henry MOSELEY ein Gesetz, das die \(\rm{K}_\alpha\)-Linien der charakteristischen RÖNTGEN-Spektren beschreibt.
d)
Trägt man in einem Diagramm \(\sqrt {{f_{\rm{K}}}} \) (\({{f_{\rm{K}}}}\) ist die Frequenz der \(\rm{K}_\alpha\)-Linie) gegen die Kernladungszahl \(Z\) des Anodenmaterials auf, so liegen die Punkte auf einer Geraden.
Zeichne die "MOSELEY-Gerade" im Bereich \({\rm{30}} \le {\rm{Z}} \le {\rm{50}}\). (7 BE)
e)
Bestimme mit Hilfe des Diagramm der Teilaufgabe d) das Material der im vorliegenden Versuch verwendeten Anode.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayerischen Kultusministeriums.
a)
Die maximale Frequenz wird dann erreicht, wenn die kinetische Energie eines Elektrons vollständig dazu verwandt wird ein Photon zu erzeugen:\[{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{Ph}}}} \Leftrightarrow E - {E_0} = {E_{{\rm{Ph}}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - {m_0} \cdot {c^2} = h \cdot f \Leftrightarrow f = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{h} \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - 1} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[f = \frac{{9{,}11 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{6{,}63 \cdot {{10}^{ - 34}}\,{\rm{J}\,\rm{s}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0{,}3 \cdot c}}{c}} \right)}^2}} }} - 1} \right) = 6{,}0 \cdot {10^{18}}\,{\rm{Hz}}\]
b)
Aus der BRAGG-Beziehung für die 1. Ordnung\[2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta \right) = 1 \cdot \lambda = \frac{c}{f} \Leftrightarrow f = \frac{c}{{2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta \right)}}\]ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte\[f_0 = \frac{{3{,}0 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}}{{2 \cdot 2{,}01 \cdot 10^{-10}}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {7{,}2^\circ } \right)} = 6{,}0 \cdot 10^{18}\,\rm{Hz}\]und analog \({f_1} = 4{,}9 \cdot {10^{18}}\,{\rm{Hz}}\) und \({f_2} = 4{,}17 \cdot {10^{18}}\,{\rm{Hz}}\).
c)
Bei einer Erhöhung der Beschleunigungsspannung wird die Grenzfrequenz des kontinuierlichen Röntgenspektrums erhöht. Nach der Beziehung von Teilaufgabe b) wird dadurch der entsprechende Glanzwinkel kleiner. Insgesamt wird also das kontinuierliche Spektrum nach links verschoben, während die Lage der charakteristischen Linien gleich bleibt.
Bei Erhöhung des Heizstroms wird die Zahl der Elektronen erhöht. Die Lage der kurzwelligen Grenze und der charakteristischen Linien bleibt gleich, während die Photonenintensitäten erhöht wird. Die Intensitätskurve wird in der Ordinatenrichtung gestreckt.
d)
Aus dem Gesetz von MOSELEY ergibt sich\[\frac{3}{4} \cdot {R_\infty } \cdot {\left( {Z - 1} \right)^2} = \frac{1}{{{\lambda _{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}}} = \frac{{{f_{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}}}{c} \Rightarrow \sqrt {{f_{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}} = \sqrt {\frac{{3 \cdot c \cdot {R_\infty }}}{4}} \cdot \left( {Z - 1} \right)\]Einsetzen der konstanten Werte liefert\[\sqrt {{f_{\rm{K_{\alpha}}}}} = 4{,}9 \cdot 10^7\,\sqrt {{\rm{Hz}}} \cdot \left( {Z - 1} \right)\]Für \(Z = 30\) ergibt sich \(\sqrt {{f_{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}} = 1{,}4 \cdot 10^9\,\sqrt {{\rm{Hz}}} \) und für \(Z = 50\) ergibt sich \(\sqrt {{f_{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}} = 2{,}4 \cdot 10^9\,\sqrt {{\rm{Hz}}} \).
Die Darstellung im Diagramm sieht dann folgendermaßen aus:
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Diagramm zu Teil d)
e)
Die \(\rm{K}_\alpha\)-Strahlung gehört zum Glanzwinkel \({\vartheta _2}\), sie ist die energieärmere und damit langwelligere, aber auch intensivere der beiden charakteristischen Linien. Aus \({f_{\rm{2}}} = 4{,}17 \cdot 10^{18}\,{\rm{Hz}}\) folgt \(\sqrt {{f_{\rm{2}}}} = 2{,}04 \cdot 10^9\,\sqrt {{\rm{Hz}}} \). Mit Hilfe des Diagramms aus Teilaufgabe d) erhält man dann \(Z = 42\), die Anode besteht demnach aus Molybdän.
