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Aufgabe

Metallhydrid-Speicher (Abitur BY 2019 Ph12-2 A2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1

In Lanthan-Nickel-Pulver kann Wasserstoff unter hohem Druck eingelagert werden. Dabei dringen die Wasserstoffatome in das Gitter ein, das von Lanthan- und Nickelatomen gebildet wird, und sind auf Zwischengitterplätzen gebunden. Das Atomgitter wird dadurch aufgeweitet, d. h. der Abstand \(d\) der Gitterebenen vergrößert sich auf \(d^*\) (vgl. Abb. 1). Die Veränderung dieses Abstands kann mit RÖNTGEN-Strahlung untersucht werden.

a)Fertige eine beschriftete Skizze einer RÖNTGEN-Röhre inklusive der elektrischen Schaltung an. (5 BE)

b)Skizziere das Spektrum einer RÖNTGEN-Röhre.

Erläutere, inwiefern es als Beleg für das quantenphysikalische Atommodell aufgefasst werden kann. (7 BE)

Abb. 2

Die RÖNTGEN-Röhre liefert Strahlung der Wellenlänge \(\lambda=0{,}179\,\rm{nm}\), die an den Gitterebenen im Abstand \(d\) des Metallpulvers reflektiert wird. Unter bestimmten Einfallswinkeln der Weite \(\alpha\) der RÖNTGEN-Strahlung tritt konstruktive Interferenz auf (vgl. Abb. 2). Für das Intensitätsmaximum 1. Ordnung gilt der Zusammenhang \(2 \cdot d \cdot \sin(\alpha)\).

c)Zeige, dass der Abstand \(d\) der Ebenen des wasserstofffreien Gitters \(0{,}25\,\rm{nm}\) beträgt. (3 BE)

d)Beim Einleiten von Wasserstoff in das Metallpulver werden Wasserstoffatome von der Außenfläche des Speichers beginnend auf Zwischengitterplätze eingebaut. Mit dem Einbau vergrößert sich der Gitterebenenabstand in diesen Bereichen um \(6{,}8\%\).

Berechne die Winkelweite \(\alpha\), unter dem nun das Intensitätsmaximum 1. Ordnung auftritt.

Skizziere den erwarteten Kurvenverlauf zwischen \(18^\circ\) und \(23^\circ\), wenn ein Teil der Zwischengitterplätze mit Wasserstoffatomen besetzt ist. (5 BE)

e)Pro Metallatom kann im Durchschnitt ein Wasserstoffatom im Gitter eingelagert werden. Zur Energieversorgung eines Kraftfahrzeugs wird ca. \(1{,}0\,\rm{kg}\) Wasserstoff pro \(100\,\rm{km}\) benötigt.

Schätze die Masse eines Metallhydrid-Speichers ab, der für Kraftfahrzeuge nötig wäre.

Beurteile damit die Einsetzbarkeit dieses Speichers. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Siehe Abb. 3

Abb. 3 Aufbau und Beschaltung einer RÖNTGEN-Röhre
Abb. 4 Beispiel für das Emissionsspektrum einer RÖNTGEN-Röhre

b)Abb. 4 zeigt das Emissionsspektrum einer RÖNTGEN-Röhre. Dieses besteht aus einem kontinuierlichen Anteil (Bremsstrahlung) mit einer scharfen kurzwelligen Grenze und Emissionslinien (charakteristische Strahlung), welche für das Anodenmaterial charakteristisch sind.

Abb. 5 Einige Emissionslinien des RÖNTGEN-Spektrums

Das quantenphysikalische Atommodell geht auch bei Atomen höherer Ordnungszahl von diskreten Energiestufen im Atom aus. Davon zeugen die Linien der charakteristischen Strahlung.

In dem nebenstehenden Termschema (vgl. Abb. 5) sind einige Linien der sogenannten charakteristischen Strahlung eines Anodenmaterials höherer Ordnungszahl dargestellt. Wird durch den Elektronenbeschuss des Anodenmaterials z.B. ein Elektron der \(\rm{K}\)-Schale entfernt, so kann z.B. ein Elektron der \(\rm{L}\)-Schale den freien Platz auf der \(\rm{K}\)-Schale auffüllen, wobei es zur Emission der \(\rm{K}_{\alpha}\)-Linie kommt.

c)Die Winkelweite des Intensitätsmaximums 1. Ordnung (\(k=1\)) liest man aus Abb. 2 zu \(\alpha = {21{,}0^\circ }\) ab. Mit diesem Wert berechnen wir den Netzebenenabstand \(d\) mit Hilfe der Beziehung von BRAGG:\[2 \cdot d \cdot \sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow d = \frac{{k \cdot \lambda }}{{2 \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}\underbrace  = _{{\rm{hier:}}\;k = 1}\frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[d = \frac{{0{,}179 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}}{{2 \cdot \sin \left( {21{,}0^\circ } \right)}} = 2{,}50 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{m}}\]

d)\[d^* = 1{,}068 \cdot d \Rightarrow d^* = 1{,}068 \cdot 2{,}50 \cdot {10^{-10}}\,{\rm{m}} = 2{,}67 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{m}}\]\[d^* = \frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \alpha  \right)}} \Leftrightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{\lambda }{{2 \cdot d^*}} \Rightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{{0{,}179 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}}{{2 \cdot 2{,}67 \cdot 10^{ - 10}\,{\rm{m}}}} = 0{,}335 \Rightarrow \alpha  = 19{,}6^\circ \]Damit ergibt sich folgendes Spektrum.

Abb. 6

e)Für die Abschätzung wird von einer Reichweite von \(600\,\rm{km}\) ausgegangen, d.h. man bräuchte dann \(6{,}0\,\rm{kg}\) Wasserstoff. Wir berechnen zuerst die Zahl \(N\) der benötigten Wasserstoffatome:\[N = \frac{{6{,}0\,{\rm{kg}}}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {\rm{H}} \right)}} \Rightarrow N = \frac{{6{,}0\,{\rm{kg}}}}{{1{,}007825 \cdot 1{,}66054 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}} = 3{,}6 \cdot {10^{27}}\]Diese Zahl \(N\) ist mit der Masse eines Metallatoms zu multiplizieren, um die Masse des Metallhydrid-Speichers abzuschätzen. Für die Masse eines Metallatoms wird der Mittelwert aus der Masse eines Lanthan-Atoms und eines Nickel-Atoms verwendet:\[{\bar m_{\rm{A}}} = \frac{{{m_{\rm{A}}}\left( {{\rm{Ni}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{\rm{La}}} \right)}}{2} \Rightarrow {\bar m_{\rm{A}}} = \frac{{58{,}696\,{\rm{u}} + 138{,}91\,{\rm{u}}}}{2} = 98{,}803 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 1{,}64 \cdot 10^{ - 25}\,{\rm{kg}}\]Somit ergibt sich für die Masse des Speichers ungefähr\[{m_{{\rm{Speicher}}}} = {\bar m_{\rm{A}}} \cdot N \Rightarrow {m_{{\rm{Speicher}}}} = 1{,}64 \cdot {10^{ - 25}} \cdot 3{,}6 \cdot {10^{27}}\,{\rm{kg}} = {590\,\rm{kg}}\]Die Masse des reinen Speichers ist deutlich größer als die Masse eines gefüllten Benzintanks. Da das Fahrzeug sehr häufig beschleunigt werden muss, eignet sich der Metall-Hydrid-Speicher für den Einsatz in Kraftfahrzeugen nicht.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

RÖNTGEN-Strahlung