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Aufgabe

Marsrover Curiosity (Abitur BY 2012 Ph12-2 A2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das Messinstrument „ChemCam“ an Bord des Marsrovers "Curiosity" besteht aus einem Laser und einem Spektrometer. Der Laser sendet Lichtpulse der Dauer \(5,0{\rm{ns}}\) mit der Wellenlänge \(1067{\rm{nm}}\) aus, die jeweils eine Energie von \(30{\rm{mJ}}\) transportieren.

a)Berechne die Leistung eines Lichtpulses sowie die Anzahl der mit diesem Puls ausgesendeten Photonen. (5 BE)

Trifft ein solcher Lichtpuls auf einen Fels, so verdampfen Teile des Gesteins schlagartig. Dadurch wird das Ausgangsmaterial in seine Atome bzw. deren Ionen zerlegt. Die Atome bzw. Ionen liegen dabei in einem angeregten Zustand vor und senden ein für die Probe charakteristisches Licht aus, dessen Spektrallinien mit einem Spektrometer registriert werden. Im Folgenden wird das Spektrum von Wasserstoff untersucht, da dessen Auftreten auf das Vorhandensein von Wasser auf dem Mars hinweisen könnte.

b)Berechne die ersten fünf Energieniveaus von Wasserstoff.

Zeichne mit diesen ein Energieniveauschema. (6 BE)

c)Berechne mit den Ergebnissen von Teilaufgabe b) die Wellenlängen der drei langwelligsten sichtbaren Spektrallinien von Wasserstoff.

Zeichne die drei zugehörigen Energieübergänge in das Energieniveauschema von Teilaufgabe b) ein. (6 BE)

Außer mit der „ChemCam“ kann „Curiosity“ die Beschaffenheit des Marsgesteins auch mit Hilfe röntgenspektroskopischer Methoden untersuchen.

d)Fertige eine beschriftete Skizze einer Röntgenröhre inklusive der elektrischen Schaltung an. (5 BE)

e)In den nachfolgenden Abbildungen handelt es sich jeweils um Emissionsspektren von Röntgenröhren.

Begründe zu jeder Abbildung kurz, welche Veränderung im experimentellen Aufbau den Wechsel von der durchgezogenen zur gestrichelten Kurve bewirkt hat. (4 BE)

f)Mit dem Gesetz von MOSELEY \(\frac{1}{{{\lambda _\alpha }}} = \frac{3}{4} \cdot {R_H}{\left( {Z - 1} \right)^2}\) lässt sich aus der Röntgenwellenlänge \({\lambda _\alpha }\) der \({K_\alpha }\)-Linie näherungsweise die Ordnungszahl \(Z\) des Anodenmaterials ermitteln (\({R_H}\) ist die Rydbergkonstante für das Wasserstoffatom).

Bestimme das Anodenmaterial für \({\lambda _\alpha } = 0,152{\rm{nm}}\). (4 BE)

g)Bei „Curiosity“ soll das zu untersuchende Gestein mit α-Teilchen beschossen werden. Dabei wird Röntgenstrahlung vom Gestein emittiert, die Rückschlüsse auf die darin enthaltenen Elemente erlaubt.

Erkläre die Vorgänge im Gestein. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für die Leistung des Lasers gilt\[P = \frac{{\Delta E}}{{\Delta t}}  \Rightarrow  P = \frac{{30 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{5,0 \cdot {{10}^{ - 9}}}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{s}}} \approx 6,0 \cdot {10^6}{\rm{W}} = 6,0{\rm{MW}}\]Berechnung der Photonenzahl \({N_{Ph}}\) im Lichtpuls:\[{{N_{Ph}} = \frac{{\Delta E}}{{{E_{Ph}}}} = \frac{{\Delta E}}{{\frac{{h \cdot c}}{\lambda }}} = \frac{{\Delta E \cdot \lambda }}{{h \cdot c}} \Rightarrow {N_{Ph}} = \frac{{30 \cdot {{10}^{ - 3}} \cdot 1067 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}} \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}}} \approx 1,6 \cdot {{10}^{17}}}\]

b)Gibt man dem Grundzustand des Wasserstoffatoms den Energiewert \({E_1} = 0{\rm{eV}}\), so verwendet man zur Berechnung der Energieniveaus die Formel\[{{E_n} = {R_H} \cdot h \cdot c \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}\]Einsetzen der Zahlenwerte ergibt\[{E_n} = 1,09678 \cdot {10^7} \cdot 4,1357 \cdot {10^{ - 15}} \cdot 2,9979 \cdot {10^8}\frac{{{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{m}}\cdot{\rm{s}}}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 13,60{\rm{eV}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\]

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\({E_n}\;{\rm{in}}\;{\rm{eV}}\) \(0\) \(10,20\) \(12,09\) \(12,75\) \(13,06\)

c)Die sichtbaren Spektrallinien (sie gehören zur Balmer-Serie) entstehen durch Übergänge, die bei \(n = 2\) enden. Die Übergänge, bei denen die langwelligsten sichtbaren Spektrallinien auftreten sind eingezeichnet.

Allgemein gilt für die Berechnung der Wellenlängen\[{\Delta {E_{m \to n}} = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{m \to n}}}} \Leftrightarrow {\lambda _{m \to n}} = \frac{{h \cdot c}}{{\Delta {E_{m \to n}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{{E_m} - {E_n}}}}\]Somit ergibt sich für \({{\lambda _{3 \to 2}}}\)
\[{{\lambda _{3 \to 2}} = \frac{{h \cdot c}}{{{E_3} - {E_2}}}}\]Einsetzen der Zahlenwerte liefert\[{{\lambda _{3 \to 2}} = \frac{{4,1357 \cdot {{10}^{ - 15}} \cdot 2,9979 \cdot {{10}^8}}}{{12,09 - 10,20}}\frac{{{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{{\rm{eV}}}} \approx 656{\rm{nm}}}\]Analog berechnen sich \({{\lambda _{4 \to 2}} \approx 486{\rm{nm}}}\) und \({{\lambda _{5 \to 2}} \approx 434{\rm{nm}}}\)

d) 

e)Es erhöhte sich die Grenzfrequenz von \(f_1\) auf \(f_2\), die Lage der charakteristischen Linien ist gleich geblieben und die Intensität hat insgesamt zugenommen. Diese Erscheinungen weisen auf eine höhere Beschleunigungsspannung an der Röntgenröhre hin. Das Anodenmaterial beider Röhren ist gleich (da gleiche Lage der charakteristischen Linien).

 

Die Lage der Grenzfrequenz ist bei beiden Kurven gleich, d.h. die Beschleunigungsspannung wurde nicht verändert. Jedoch haben sich die charakteristischen Linien verschoben. Dies deutet auf verschiedene Anodenmaterialien bei den verwendeten Röntgenröhren hin.

f)\[{\frac{1}{{{\lambda _\alpha }}} = \frac{3}{4} \cdot {R_H}{{\left( {Z - 1} \right)}^2} \Rightarrow Z - 1 = \sqrt {\frac{4}{{3 \cdot {\lambda _\alpha } \cdot {R_H}}}} \Rightarrow Z = \sqrt {\frac{4}{{3 \cdot {\lambda _\alpha } \cdot {R_H}}}}  + 1}\]Einsetzen der Zahlenwerte ergibt\[{Z = \sqrt {\frac{4}{{3 \cdot 0,152 \cdot {{10}^{ - 9}} \cdot 1,0967 \cdot {{10}^7}}}}  + 1 \approx 28 + 1 = 29}\]Das Anodenmaterial bestand also aus Kupfer (\(Z = 29\)).

g)Die α-Teilchen treffen auf die Atome des Gesteins und schlagen aus den Atomen Elektronen von inneren Atomschalen heraus. Die dabei entstehenden "Elektronenlöcher" werden durch Elektronen aus den äußeren Schalen wieder aufgefüllt. Bei diesen Übergängen kommt es zur Emission von Röntgenstrahlung, die für die jeweiligen Atome charakteristisch sind (Charakteristische RÖNTGEN-Strahlung).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

RÖNTGEN-Strahlung