Quantenmechanischen Betrachtung des Wasserstoffatoms
Beim Wasserstoffatom hält sich ein einzelnes Elektron im Coulomb-Potential des Atomkerns auf. Es kann dabei nicht beliebige Energiewerte annehmen - seine Energie ist quantisiert.
Die exakte quantenmechanische Berechnung der erlaubten Energiewerte mit Hilfe der Schrödingergleichung kann mit der in der Schule gelernten Mathematik nicht durchgeführt werden. Auf der Seite des milq-Projektes ist die exakte Berechnung erläutert.
Das Bohrsche Atommodell, das einem die Energien gut errechnet, führt leicht zu Fehlvorstellungen in der Modellbildung, da dort die Elektronen auf wohldefinierten Bahnen laufen, was im Widerspruch zur Quantenmechanik ist.
In einem ersten Schritt lassen wir uns einfach die Schrödingergleichung von einem Programm für vorgegebene Energiewerte ausrechnen und probieren so lange, bis die Psi-Funktion \(\Psi(r)\) im Unendlichen Null wird. Da das Quadrat der Psi-Funktion \(|{\Psi (r)|}^2\) ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit darstellt, ist es eine zwingende Randbedingung, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Unendlichen Null ist und damit \(\Psi(\infty)=0\) ist.
Programm: Schrödingers Schlange
Die Windows-Software Schrödingers Schlange von Dr. J. Küblbeck löst die Schrödingergleichung für ein Elektron. Mit Hilfe von Reglern kannst du die Energie des Elektrons so fein einstellen, dass die \(\Psi\)-Funktion beschränkt bleibt. Dies liefert die Energiewerte. In Abb. 1 siehst du die Endergebnisse des Programms für \(n=1\), \(n=2\) und \(n=3\) übereinanderkopiert.
Aufgabe
Bestimme mit dem Programm die Energieeigenwerte für \(n=1\), \(n=2\), \(n=3\) und \(n=4\) und vergleiche sie mit den Werten nach Bohr, die sich aus \(E_n=\frac{-13{,}6\,\rm{eV}}{n^2}\) ergeben.