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Grundwissen

Quantenmechnische Systematisierung des Periodensystems

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Zustände der gebundenen Elektronen eines Atoms werden mit den Quantenzahlen beschrieben.
  • Es gibt vier unterschiedliche Quantenzahlen: Hauptquantenzahl \(n\), Nebenquantenzahl \(l\), magnetische Quantenzahl \(m\) und Spin-Quantenzahl \(s\).
  • Das PAULI-Prinzip besagt, dass in einem Atom niemals zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen können.

Verschiedene Quantenzustände innerhalb einer Schale

Noch viel deutlicher wird der Schalenaufbau der Atome durch das Röntgenabsorptionsspektrum aufgezeigt. Aus ihm kann man entnehmen, dass die Niveaus, die zu einer Schale gehören, energetisch deutlich von den Niveaus anderer Schalen getrennt sind. Darüber hinaus zeigt dieses Spektrum auch, dass die einzelnen Schalen eine Feinstruktur aufweisen. Dies heißt, dass es innerhalb einer Schale verschiedene Quantenzustände gibt, die sich deutlich von einander unterscheiden.

Die vier Quantenzahlen

Zur Kennzeichnung dieser unterschiedlichen Zustände hat man vier Quantenzahlen zur Verfügung, mit denen man auch die unterschiedlichen Lösungen der Schrödinger-Gleichung klassifizieren kann.

Name
Bereich
Hauptquantenzahl \(n\)
("Schale")
\[n \in \left\{\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;...\;\right\}\]
\[n =1:K\quad ; \quad n =2:L\quad ; \quad n =3:M\quad ; \quad n =4:N\quad ; \quad ...\]
Nebenquantenzahl \(l\)
("Orbitale")
\[l \in \left\{\;0\;;\;1;\;...\;;\;n - 1\;\right\}\]
\[l = 0:s\quad ; \quad l = 1:p\quad ; \quad l = 2:d\quad ; \quad l = 3:f\quad ; \quad ...\]
magnetische Quantenzahl \(m\)
\[m \in \left\{\; - l\;;\;...\;;\; - 1\;;\;0\;;\; + 1\;;\;...\;;\; + l\;\right\}\]
Spin-Quantenzahl \(s\)
\[s \in \left\{\; - {\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\;\right\}\]

 

Hinweise

  • Oft werden die Haupt- und Nebenquantenzahl nicht mit Ziffern, sondern mit den in Klammern geschriebenen Buchstaben belegt.
  • Die Belegung der Nebenquantenzahlen \(l=0\), \(l=1\), \(l=2\) ... mit den "Orbitalen" \(s\), \(p\), \(d\), ... ist eigentlich nicht korrekt. Für höhere Nebenquantenzahlen gibt es zu einer Nebenquantenzahl \(l\) stets mehrere magnetische Quantenzahlen \(m\), und erst die Kombination aus Haupt, Neben- und magnetischer Quantenzahl legt ein Orbital eindeutig fest. Man kann grob sagen: Die Hauptquantenzahl \(n\) legt die Größe eines Orbitals fest und die Kombination aus Nebenquantenzahl \(l\) und magnetischer Quantenzahl \(m\) legt die Form des Orbitals fest. So belegt man z.B. die Kombination \(n=1; l=1; m=-1\) mit dem "Orbital" \(1p_y\) oder die Kombination \(n=3; l=2; m=2\) mit dem "Orbital" \(3d_{x^2-y^2}\).
  • Die Orbitale charakterisieren streng genommen nur die stationären Elektronen-Wellen in Systemen mit nur einem Elektron (wie z. B. Wasserstoffatom H, Heliumion He+, Lithiumion Li2+ usw.). Da die Form der Orbitale auch in Mehrelektronensystemen in etwa erhalten bleibt, reicht ihre Kenntnis aus, um viele qualitative Fragen zur chemischen Bindung und zum Aufbau von Stoffen zu beantworten.

Das PAULI-Prinzip

Zusammen mit diesen in der obigen Tabelle beschriebenen Regeln für die Bereiche der Quantenzahlen und dem - nicht beweisbaren - Prinzip, das der österreichische Physiker Wolfgang PAULI  (1900 - 1958) 1925 aufgestellt hat, kann man sich nun die Besetzungszahlen der einzelnen Schalen zusammenstellen.

PAULI-Prinzip

In einem Atom gibt es nie zwei oder mehrere Elektronen, die in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen.

Mögliche Konfigurationen

\(n\) (Schale)
\(l\) (Orbital)
\(m\)
\(s\)
Bezeichnung
maximale Elektronenzahl
im Orbital
maximale Elektronenzahl
in der Schale
\(1\) (K)
\(0\) (s)
\(0\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\(1s\)
\(2\)
\(2\)
\(2\) (L)
\(0\) (s)
\(1\) (p)
\(0\)
\(-1\,; 0\,; +1\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\(2s\)
\(2p\)
\(2\)
\(6\)
\(8\)
\(3\) (M)
\(0\) (s)
\(1\) (p)
\(2\) (d)
\(0\)
\(-1\,; 0\,; +1\)
\(-2\,; -1\,; 0\,; 1\,; 2\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\(3s\)
\(3p\)
\(3d\)
\(2\)
\(6\)
\(10\)
\(18\)
\(4\) (N)
\(0\) (s)
\(1\) (p)
\(2\) (d)
\(3\) (f)
\(0\)
\(-1\,; 0\,; +1\)
\(-2\,; -1\,; 0\,; 1\,; 2\)
\(-3\,; -2\,; -1\,; 0\,; 1\,; 2\,; 3\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\({\rm{ - }}{\textstyle{1 \over 2}}\;;\; + {\textstyle{1 \over 2}}\)
\(4s\)
\(4p\)
\(4d\)
\(4f\)
\(2\)
\(6\)
\(10\)
\(14\)
\(32\)

Die maximale Besetzungzahl \(N\) mit Elektronen für die \(n\)-te Schale kann mit der Beziehung \(N=2\cdot n^2\) berechnet werden.