Abb. 2 Ausschnitt aus dem Energiestufen-Schema von Wasserstoff
Das Linienspektrum eines Atoms steht in engem Zusammenhang mit dessen Energiestufen-Schema. Abb. 1 zeigt Emissionslinien einer bestimmten Serie des Wasserstoff-Spektrums, Abb. 2 stellt einen Ausschnitt aus dem Energiestufen-Schema des Wasserstoffatoms dar.
a)
Untersuchen Sie, welcher Übergang im Energiestufen-Schema zur Emission der Linie \(\alpha \) mit \(\lambda = 1,875{\rm{\mu m}}\) führt. (5 BE)
b)
Erklären Sie qualitativ das Zustandekommen der übrigen Linien dieser Serie. (3 BE)
c)
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Wellenlänge der kurzwelligen Seriengrenze dieser Serie \(0,82\rm{\mu m}\) beträgt. (6 BE)
Ein H+-Ion fängt ein freies Elektron mit geringer kinetischer Energie (\({E_{{\rm{kin}}}} < 0,1{\rm{eV}}\)) ein, wobei ein Photon mit \(\lambda = 800{\rm{nm}}\) entsteht.
d)
Ermitteln Sie durch Rechnung und Vergleich mit Abb. 2, auf welchem Energieniveau sich das Elektron unmittelbar nach dem Einfang befindet. [zur Kontrolle: \(n = 3\)] (4 BE)
e)
Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Elektrons vor dem Einfang. (7 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Berechnen der zu \(\lambda = 1,875{\rm{\mu m}}\) gehörenden Energie:\[E = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow E = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,875 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 0,663{\rm{eV}}\]Die Energie gehört wegen \(1,51{\rm{eV}} - 0,85{\rm{eV}} = 0,66{\rm{eV}}\) zum Übergang von \(n = 4\) auf \(n = 3\).
b)
Die anderen Linien sind Übergänge von noch höheren Anregungszuständen, \(n = 5; 6; ...\), die auf dem Energieniveauschema nicht mehr dargestellt sind.
c)
Die kurzwellige Seriengrenze ist der Übergang vom Kontinuum auf \(n = 3\):\[E = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Leftrightarrow \lambda = \frac{{h \cdot c}}{E} \Rightarrow \lambda = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,51{\rm{eV}} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 8,2 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}} = 820{\rm{nm}}\]
d)
Die vom Elektron abgegebene Energie beträgt\[E = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow E = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{800 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 1,55{\rm{eV}}\]Es ist deshalb in das Anregungsniveau \(n = 3\) mit \(1,51{\rm{eV}}\) gefallen und hatte zuvor \(0,04{\rm{eV}}\) kinetische Energie.
e)
\[e \cdot U = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot U}}{m}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 0,04{\rm{V}}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}} = 1,2 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
