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Aufgabe

Heliumspektren (Abitur BY 2005 GK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das Edelgas Helium wurde 1868 durch seine FRAUNHOFER-Linien im Sonnenspektrum entdeckt und erst 1895 in Erdgasquellen auf der Erde gefunden.

a)

Zum Spektrum von atomarem Helium (He) gehört u.a. eine Linie mit der Wellenlänge \(588\,\rm{nm}\).

Berechne die zugehörige Photonenenergie. (3 BE)

Daneben lassen sich aber auch Linien nachweisen, die von einfach ionisiertem Helium (He+-Ionen) stammen. He+ ist wie das H-Atom ein Einelektronensystem. Der Wert der Bindungsenergie des Elektrons auf der \(n\)-ten Energiestufe berechnet sich durch\[E_n = - \frac{Z^2 \cdot R \cdot h \cdot c}{n^2}\]Hierbei ist \(R\) die RYDBERG-Konstante und \(Z\) die Ordnungszahl. Gehe zunächst davon aus, dass die RYDBERG-Konstante des Wasserstoffatoms und des He+-Ions gleich groß sind.

b)

Berechne die Ionisierungsenergie von He+, das sich im Grundzustand befindet. [zur Kontrolle: \(54{,}4\,\rm{eV}\)] (4 BE)

c)

Zeige, dass die 2., 4. und 6. Energiestufe des He+-Ions mit den ersten drei Stufen des H-Atoms übereinstimmen. (6 BE)

d)

Die Hα -Linie hat die größte Welenlänge in der BALMER-Serie des Wasserstoffatoms.

Gib an, welcher Übergang im He+-Ion zur Emission einer Strahlung mit dieser Wellenlänge führt.

Begründe deine Entscheidung.

e)

Tatsächlich ist die RYDBERG-Konstante des He+-Ions geringfügig größer als die des H-Atoms.

Erläutere, was daraus für die Wellenlänge der He+-Linie aus Teilaufgabe d) im Vergleich zur Hα -Linie folgt. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow {E_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot 3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{588 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}} = 2{,}11\,{\rm{eV}}\]

b)

Die Ionisierungsenergie bekommt man aus der Differenz der Energie im freien Zustand (\(n = \infty \)) und der Energie im Grundzustand (\(n = 1\)):\[{E_{{\rm{Ion}}}} = {E_\infty } - {E_1} = {2^2} \cdot R \cdot h \cdot c \cdot \left[ {\left( { - \frac{1}{{{\infty ^2}}}} \right) - \left( { - \frac{1}{{{1^2}}}} \right)} \right] = {2^2} \cdot R \cdot h \cdot c\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{Ion}}}} = {2^2} \cdot 1{,}10 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}} \cdot 4{,}14 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot 3{,}00 \cdot {10^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 54{,}4\,{\rm{eV}}\]

c)

Für Wasserstoff gilt \(E_{n,\rm{H}} = -\frac{R\cdot h \cdot c}{n^2}\) ; für He+ gilt \(E_{n,\rm{He^+}} = -\frac{4\cdot R\cdot h \cdot c}{n^2}\). Damit ergibt sich folgende Tabelle:

Stufe für H Stufe für He+ Energie
1. 2. \(-R \cdot h \cdot c\)
2. 4. \(-\frac{1}{4} \cdot R \cdot h \cdot c\)
3. 6. \(-\frac{1}{9} \cdot R \cdot h \cdot c\)
d)

Die BALMER-Linie mit der größten Wellenlänge (Hα -Linie) ist diejenige mit dem kleinsten \(\Delta E\), d.h. der Übergang von 3 nach 2.\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\]Beim He+ kommt es zu dieser Wellenlänge, wenn der Übergang von 6 nach 4 erfolgt:\[\begin{eqnarray}\frac{1}{\lambda } &=& 4 \cdot R \cdot \left( {\frac{1}{{{4^2}}} - \frac{1}{{{6^2}}}} \right)\\ &=& R \cdot \left( {\frac{4}{{{4^2}}} - \frac{4}{{{6^2}}}} \right)\\ &=& R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\end{eqnarray}\]

e)

Aus den Formeln von Teilaufgabe d) sieht man, dass \(\lambda \sim \frac{1}{R}\) gilt. Wenn nun \(R_{\rm{He^+}}\) etwas größer ist als \(R_{\rm{H}}\), so bedeutet dies, dass die He+- Linie eine geringfügig kleinere Wellenlänge hat als die Hα -Linie.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

Quantenmech. Atommodell