Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Kohlendioxid-Laser (Abitur BY 2011 LK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Um bei einem mit Kohlendioxid (CO2) betriebenen Laser die CO2-Moleküle aus dem Grundzustand in ein energetisch höheres Niveau anregen zu können, muss zunächst das Hilfsgas Stickstoff (N2) durch Stoßanregung mit Elektronen in einen angeregten Zustand versetzt werden.

Die angeregten Stickstoffmoleküle übertragen anschließend ihre Anregungsenergie auf das Arbeitsgas CO2 (siehe Energieniveauschema). Für die Emission von Laserlicht sind im Wesentlichen die Übergänge vom oberen zu den beiden unteren Laserniveaus A bzw. B verantwortlich.

a)Berechnen Sie, mit welcher Mindestgeschwindigkeit \(v\) ein Elektron auf ein Stickstoffmolekül im Grundzustand treffen muss, damit der Anregungsprozess in Gang gebracht wird. (4 BE)

b)Der angeregte Zustand von N2 liegt \(2,2 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{eV}}\) unter dem oberen Laserniveau von CO2.

Begründen Sie durch den Vergleich mit der thermischen Energie bei Raumtemperatur, dass die Anregung der CO2-Moleküle durch N2-Moleküle dennoch energetisch möglich ist. (5 BE)

c)Entscheiden Sie rechnerisch, ob der Laser im sichtbaren Bereich arbeitet. (4 BE)

d)Zeigen Sie mit Hilfe des abgebildeten Energieniveauschemas, dass der theoretisch erreichbare Wirkungsgrad des CO2-Lasers etwa \(40{\rm{\% }}\) beträgt. Geben Sie einen möglichen Grund an, weshalb der Wirkungsgrad in der Praxis deutlich kleiner ist. (6 BE)

e)Zur Erzeugung eines Laserpulses werden CO2-Moleküle angeregt, bis sich eine ausreichend hohe Anzahl auf dem oberen Laserniveau befindet. Anschließend fällt innerhalb von \(\Delta t = 2,2{\rm{ns}}\) ein Anteil von \(86{\rm{\% }}\) der angeregten Moleküle auf das Laserniveau A zurück, der Rest auf das Laserniveau B.

Berechnen Sie, wie viele CO2-Moleküle angeregt werden müssen, wenn der Laserpuls eine mittlere Leistung von \({P = 5,0{\rm{kW}}}\) haben soll. (6 BE)

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\[{E_{{\rm{kin,min}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot v_{\min }^2 \Rightarrow {v_{\min }} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin,min}}}}}}{{{m_e}}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte mit \({E_{{\rm{kin,min}}}} = 0,30{\rm{eV}}\) liefert\[{{v_{\min }} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 0,30 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}}  = 3,2 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]

b)Abschätzung der mittleren kinetischen Energie (thermischen Energie) eines Stickstoffmoleküls bei Raumtemperatur:\[\left\langle {{E_{kin}}} \right\rangle  \approx \frac{3}{2} \cdot k \cdot T \Rightarrow \left\langle {{E_{kin}}} \right\rangle  \approx \frac{3}{2} \cdot 8,61 \cdot {10^{ - 5}} \cdot 293{\mkern 1mu} {\rm{eV}} = 37,8{\rm{meV}}\]Die mittlere thermische Energie ist deutlich größer als der Energieunterschied der beiden Niveaus von N2 und CO2, also ist eine Anregung des CO2 möglich.

c)Berechnung der Wellenlänge für den Übergang auf das Niveau B:\[\frac{{h \cdot c}}{\lambda } = \Delta {E_{\rm{B}}} \Leftrightarrow \lambda  = \frac{{h \cdot c}}{{\Delta {E_{\rm{B}}}}} \Rightarrow \lambda  = \frac{{4,14 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,129{\rm{eV}}}} = 9,63{\rm{\mu m}}\]Diese Wellenlänge liegt im Infrarot-Bereich. Da der Übergang nach A noch energieärmer ist, liegt auch dieser Übergang im IR.

d)Für den Wirkungsgrad gilt\[{\eta _{{\rm{max}}}} = \frac{{{E_{{\rm{genutzt}}{\rm{,max}}}}}}{{{E_{{\rm{aufgewandt}}}}}} \Rightarrow {\eta _{{\rm{max}}}} = \frac{{0,129{\rm{eV}}}}{{0,30{\rm{eV}}}} = 43\% \]Tatsächlich ist der Wirkungsgrad kleiner, da nicht jeder Elektronenstoß mit einem Stickstoffmolekül zu einer Anregung führt. Außerdem gibt nicht jedes angeregt Stickstoffmolekül seine Anregungsenergie an ein CO2-Molekül ab.

e)Energie, die im Mittel frei wird, wenn das obere Laserniveau „entladen“ wird:\[\Delta E = 0,86 \cdot 0,117{\rm{eV}} + 0,14 \cdot 0,129{\rm{eV}} = 0,119{\rm{eV}}\]Berechnung der Zahl \(N\) der angeregten CO2-Moleküle:\[P = N \cdot \frac{{\Delta E}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow N = \frac{{P \cdot \Delta t}}{{\Delta E}} \Rightarrow N = \frac{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{W}} \cdot 2,2 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{s}}}}{{0,119 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}} = 5,8 \cdot {10^{14}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe