Um bei einem mit Kohlendioxid (\(\rm{CO}_2\)) betriebenen Laser die \(\rm{CO}_2\)-Moleküle aus dem Grundzustand in ein energetisch höheres Niveau anregen zu können, muss zunächst das Hilfsgas Stickstoff (\(\rm{N}_2\)) durch Stoßanregung mit Elektronen in einen angeregten Zustand versetzt werden.
Die angeregten Stickstoffmoleküle übertragen anschließend ihre Anregungsenergie auf das Arbeitsgas (\(\rm{CO}_2\)) (siehe Energieniveauschema). Für die Emission von Laserlicht sind im Wesentlichen die Übergänge vom oberen zu den beiden unteren Laserniveaus A bzw. B verantwortlich.
a)
Berechne, mit welcher Mindestgeschwindigkeit \(v\) ein Elektron auf ein Stickstoffmolekül im Grundzustand treffen muss, damit der Anregungsprozess in Gang gebracht wird. (4 BE)
b)
Der angeregte Zustand von \(\rm{N}_2\) liegt \(2{,}2 \cdot 10^{-3}\,{\rm{eV}}\) unter dem oberen Laserniveau von \(\rm{CO}_2\).
Begründe durch den Vergleich mit der thermischen Energie bei Raumtemperatur, dass die Anregung der \(\rm{CO}_2\)-Moleküle durch \(\rm{N}_2\)-Moleküle dennoch energetisch möglich ist. (5 BE)
c)
Entscheide rechnerisch, ob der Laser im sichtbaren Bereich arbeitet. (4 BE)
d)
Zeige mit Hilfe des abgebildeten Energieniveauschemas, dass der theoretisch erreichbare Wirkungsgrad des \(\rm{CO}_2\)-Lasers etwa \(40\% \) beträgt.
Gib einen möglichen Grund an, weshalb der Wirkungsgrad in der Praxis deutlich kleiner ist. (6 BE)
e)
Zur Erzeugung eines Laserpulses werden \(\rm{CO}_2\)-Moleküle angeregt, bis sich eine ausreichend hohe Anzahl auf dem oberen Laserniveau befindet. Anschließend fällt innerhalb von \(\Delta t = 2{,}2\,{\rm{ns}}\) ein Anteil von \(86\% \) der angeregten Moleküle auf das Laserniveau A zurück, der Rest auf das Laserniveau B.
Berechne, wie viele \(\rm{CO}_2\)-Moleküle angeregt werden müssen, wenn der Laserpuls eine mittlere Leistung von \(P = 5{,}0\,{\rm{kW}}\) haben soll. (6 BE)
Abschätzung der mittleren kinetischen Energie (thermischen Energie) eines Stickstoffmoleküls bei Raumtemperatur:\[\left\langle {{E_{kin}}} \right\rangle \approx \frac{3}{2} \cdot k \cdot T \Rightarrow \left\langle {{E_{kin}}} \right\rangle \approx \frac{3}{2} \cdot 8,61 \cdot {10^{ - 5}} \cdot 293{\mkern 1mu} {\rm{eV}} = 37,8{\rm{meV}}\]Die mittlere thermische Energie ist deutlich größer als der Energieunterschied der beiden Niveaus von N2 und CO2, also ist eine Anregung des CO2 möglich.
c)
Berechnung der Wellenlänge für den Übergang auf das Niveau B:\[\frac{{h \cdot c}}{\lambda } = \Delta {E_{\rm{B}}} \Leftrightarrow \lambda = \frac{{h \cdot c}}{{\Delta {E_{\rm{B}}}}} \Rightarrow \lambda = \frac{{4,14 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,129{\rm{eV}}}} = 9,63{\rm{\mu m}}\]Diese Wellenlänge liegt im Infrarot-Bereich. Da der Übergang nach A noch energieärmer ist, liegt auch dieser Übergang im IR.
d)
Für den Wirkungsgrad gilt\[{\eta _{{\rm{max}}}} = \frac{{{E_{{\rm{genutzt}}{\rm{,max}}}}}}{{{E_{{\rm{aufgewandt}}}}}} \Rightarrow {\eta _{{\rm{max}}}} = \frac{{0,129{\rm{eV}}}}{{0,30{\rm{eV}}}} = 43\% \]Tatsächlich ist der Wirkungsgrad kleiner, da nicht jeder Elektronenstoß mit einem Stickstoffmolekül zu einer Anregung führt. Außerdem gibt nicht jedes angeregt Stickstoffmolekül seine Anregungsenergie an ein CO2-Molekül ab.
e)
Energie, die im Mittel frei wird, wenn das obere Laserniveau „entladen“ wird:\[\Delta E = 0,86 \cdot 0,117{\rm{eV}} + 0,14 \cdot 0,129{\rm{eV}} = 0,119{\rm{eV}}\]Berechnung der Zahl \(N\) der angeregten CO2-Moleküle:\[P = N \cdot \frac{{\Delta E}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow N = \frac{{P \cdot \Delta t}}{{\Delta E}} \Rightarrow N = \frac{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{W}} \cdot 2,2 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{s}}}}{{0,119 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}} = 5,8 \cdot {10^{14}}\]
