Atomphysik

Klassische Atommodelle

Spektrum von \(\rm{He^+}\) - PICKERING-Serie

  • Welche Vorstellungen hatten die alten Griechen von Atomen?
  • Was versteht man unter dem „Plumpudding-Modell“?
  • Welche Vorhersagen macht das BOHRsche Atommodell?
  • Mit welchen Atommodellen arbeitet die moderne Physik?

Spektrum von \(\rm{He^+}\) - PICKERING-Serie

Im Jahre 1897 stellte der amerikanische Astronom Pickering im Licht des Sterns ξ-Puppis eine Spektralserie fest (in der Abbildung "blau" dargestellt), die viel mit der Balmer-Serie des Wasserstoffs (in der Abbildung "lila" dargestellt) gemeinsam hat.

Man sieht:

Jede zweite Linie der Pickering-Serie fällt mit einer Linie der Balmer-Serie fast zusammen

Zwischen zwei Balmer-Linien befindet sich stets eine zusätzliche Linie der Pickering-Serie

Rydberg konnte zeigen, dass für die Linien der Pickering-Serie ein ähnliches Gesetz gilt wie für die Balmer-Serie des Wasserstoffs. Jedoch nimmt die Laufvariable k in diesem Gesetz nicht nur positive ganzzahlige sondern auch halbzahlige Werte an:
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{k^2}}}} \right);\;k \in \left\{ {2,5\;;\;3\;;\;3,5\;;\;4\;;\;...} \right\}\]
Zunächst glaubte man, dass diese Abweichung von der Balmer-Serie darauf zurückzuführen ist, dass der Wasserstoff auf ξ-Pupis in einem ganz besonderen Zustand ist. Später konnte jedoch die Pickering-Serie auch bei terrestrischen Versuchen nachgewiesen werden, bei denen dem Wasserstoff noch Helium beigemischt war. Bohr "entlarvte" schließlich die Pickering-Serie als das Emissionsspektrum von einfach ionisiertem He: He+

Für die Gesamtenergie eines Elektrons auf der \(n\)-ten Quantenbahn eines Einelektronensystems mit der Kernladung \(Z \cdot \)e gilt
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} =  - R \cdot h \cdot c \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}} =  - 13,6{\rm{eV}} \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}\]

Beim Übergang von der \(m\)-ten zur \(n\)-ten Quantenbahn (\(m > n\)) wird ein Photon der Energie \(h \cdot f\) emittiert. Dabei gilt
\[h \cdot f = {E_{ges,m}} - {E_{ges,n}};\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
Mit \(f = \frac{c}{\lambda }\) ergibt sich weiter
\[h \cdot \frac{c}{\lambda } = R \cdot h \cdot c \cdot {Z^2} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda } = R \cdot {Z^2} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right);\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
Für das einfach ionisierte Heliumion gilt \(Z = 2\) und damit
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot {2^2} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right) = R \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {\frac{n}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}}} \right)\]
Für \(n = 4\) und \(m \in \left\{ {5\;;\;6\;;\;7\;;\;8\;;\;...} \right\}\) gilt dann
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {\frac{4}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}}} \right) = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}}} \right)\;;\;m \in \left\{ {5\;;\;6\;;\;7\;;\;8\;;\;...} \right\}\]
Setzt man schleißlich \({\frac{m}{2} = k}\), so folgt
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{k^2}}}} \right);\;k \in \left\{ {2,5\;;\;3\;;\;3,5\;;\;4\;;\;...} \right\}\]
Dies ist nun genau die eingangs erwähnte von Rydberg gefundene Formel für die Pickering-Serie.

In der folgenden Abbildung sind die beiden Termschemata für Wasserstoff und einfach ionisiertes Helium gegenübergestellt:

Die oben entwickelten Gedanken lassen sich auch auf Einelektronensysteme wie Li++ und Be+++ anwenden.

Allerdings wird durch diese Theorie noch nicht erklärt, warum jede zweite Linie des Wasserstoff- und He+-Spektrums nicht exakt zusammenfallen. Lesen Sie hierzu die Seite über die Kernmitbewegung.

3 Gemeinsame Bewegung von Elektron und Atomkern um einen gemeinsamen Schwerpunkt

Der geringfügige Unterschied zwischen den BALMER-Linien des Wasserstoffs und den entsprechenden Linien der PICKERING-Serie erklärt sich aus den unterschiedlichen Massen des Wasserstoffkerns und des Heliumkerns.

In der einfachen Herleitung des Atommodells von BOHR wurde davon ausgegangen, dass das Elektron um den Kernmittelpunkt kreist. Dies wäre jedoch nur bei sehr schweren (im Grenzfall "unendlich" schweren) Kernen richtig. Tatsächlich müssten in diesem Modell Kern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt S kreisen.

Um die bisher entwickelte Theorie weiter benutzen zu können (Elektron kreist um den Kernmittelpunkt) wird die Elektronenmasse \({m_e}\) durch die sogenannte reduzierte Masse \(m'\) ersetzt. Bei der Bestimmung von \(m'\) geht man davon aus, dass \(m'\) bei der Rotation um den Kernmittelpunkt (Radius \({r_e} + {r_{\rm{K}}}\)) die gleiche Zentripetalkraft erfahren muss, wie das Elektron der Masse \({m_e}\) bei der Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt S:
\[m' \cdot \left( {{r_e} + {r_{\rm{K}}}} \right) \cdot {\omega ^2} = {m_e} \cdot {r_e} \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow m' = \frac{{{m_e} \cdot {r_e}}}{{{r_e} + {r_{\rm{K}}}}} \quad(1)\]
Außerdem gilt (Hebelgesetz)
\[{m_{\rm{K}}} \cdot {r_{\rm{K}}} = {m_e} \cdot {r_e} \Leftrightarrow {r_{\rm{K}}} = \frac{{{m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}} \cdot {r_e} \quad(2)\]
Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so erhält man
\[m' = \frac{{{m_e} \cdot {r_e}}}{{{r_e} + \frac{{{m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}} \cdot {r_e}}} = \frac{{{m_e}}}{{1 + \frac{{{m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}}}} = \frac{{{m_e}}}{{\frac{{{m_{\rm{K}}} + {m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}}}} = \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {m_e}}}{{{m_{\rm{K}}} + {m_e}}}\]

Für die Berechnung der Spektralserien hast du beim Einelektronensystem die Beziehung
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right);\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
kennengelernt. Die einfache Rechnung ergab für die Rydbergkonstante \(R\)
\[R = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}}\]
Da bei der einfachen Rechnung keine Kernmitbewegung berücksichtigt wurde, also so getan wurde als läge ein "unendlich" schwerer Kern vor, schreibt man für obiges \(R\) auch
\[{R_\infty } = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}} = 1,0973732 \cdot {10^7}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}}\]
Für die Spektralserien des Wasserstoffatoms muss man in die Rydbergkonstante anstelle von \({m_e}\) die reduzierte Masse \({m'}\) einsetzen (\(m_p\) bedeutet die Protonenmasse):
\[{R_{\rm{H}}} = \frac{{{e^4} \cdot m'}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}}\;{\rm{mit}}\;m' = \frac{{{m_p} \cdot {m_e}}}{{{m_p} + {m_e}}}\]
Damit ergibt sich für \({R_{\rm{H}}}\)
\[{R_{\rm{H}}} = 1,0967758 \cdot {10^7}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}}\]

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf der Rydbergkonstanten in Abhängigkeit von der Ordnungszahl (bzw. Massezahl) \(A\).

Hinweis: Mit einem hochauflösenden Spektrographen entdeckte man bei den Linien des Wasserstoffspektrums noch sogenannte Satellitenlinien. Sie sind auf das im natürlichen Isotopengemisch vorhandene Deuterium (schwerer Wasserstoff) zurückzuführen.

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