Klassische Atommodelle

Atomphysik

Klassische Atommodelle

  • Welche Vorstellungen hatten die alten Griechen von Atomen?
  • Was versteht man unter dem „Plumpudding-Modell“?
  • Welche Vorhersagen macht das BOHRsche Atommodell?
  • Mit welchen Atommodellen arbeitet die moderne Physik?

Atommodell von THOMSON

Das von Dalton entwickelte Masse-Kugel-Modell konnte keinerlei elektrophysikalische oder elektrochemische Erscheinungen erklären. Bereits im Jahre 1881 zog Helmholtz aus den faradayschen Gesetzen der Elektrolyse und aus Versuchen mit Elektronen- und Ionenstrahlen den Schluss, dass Atome Träger elektrischer Ladung sind.

von Not Mentioned (First World War.com) [Public domain], via Wikimedia Commons

Eine genauere Modellvorstellung über die Ladungsstruktur der Atome entwickelte Joseph John THOMSON um 1898. Sein Ausgangspunkt waren die Ergebnisse von q/m-Messungen (spezifische Ladung) an elektrisch geladenen Teilchen, wie sei bei der Gasentladung entstehen.

 

Während der q/m-Wert positiv geladener Teilchen (Kanalstrahlen) mit der Gasart variiert, treten unabhängig von der Natur des Gases immer negative Korpuskel mit derselben spezifischen Ladung auf (Kathodenstrahlen). Man nannte diese Korpuskel später Elektronen. Außerdem war bekannt, dass beim Glühen von Metallen bzw. beim Bestrahlen von Metallen mit UV-Licht unabhängig von der Metallart Korpuskel austreten, welche die gleiche spezifische Ladung hatten, wie die Kathodenstrahlen.

Zur q/m-Bestimmung benutzte Thomson Röhren, bei denen er die geladenen Teilchen durch elektrische und magnetische Felder ablenken konnte.

Aus den oben dargestellten Versuchsergebnissen zog Thomson den Schluss, dass die Elektronen elementare Bestandteile aller Atome sind. Damit war es mit der Homogenität und Unstrukturiertheit des Atoms vorbei. Um die Neutralität des Atoms zu wahren, nahm Thomson für das Atom eine Massenkugel an, in der die positive Ladung homogen "verschmiert" ist. In diese Kugel sind dann die Elektronen (ruhend oder bewegt) eingebettet. Man nennt dieses Modell auch "Rosinenkuchen-Modell", da die Elektronen in der homogenen, positiven Ladungsverteilung wie die Rosinen in einem Teig erscheinen. Aus Gründen der Stabilität gelangte Thomson durch Rechnungen zur Forderung, dass die Elektronen regelmäßig angeordnet sein müssten.

Originalzeichnung von Thomson über die Elektronenanordnung

Die zu Thomsons Zeit schon bekannte Periodizität der Elemente wurde durch die verschiedene geometrische Anordnung der Elektronen erklärt. Bei Atomen mit vielen Elektronen musste Thomson aus Stabilitätsgründen mehrere Elektronengruppen annehmen, die man als Vorläufer der später erkannten Elektronenschalen ansehen kann.

Beim Thomson-Modell waren die innersten Elektronen für die Eigenschaften des Elements verantwortlich. Dies ist im Gegensatz zur heutigen Auffassung, bei der die äußeren Elektronen die chemischen Eigenschaften des Elements bestimmen.

Die Lichtemission der Atome führte Thomson auf Schwingungen des Elektronensystems zurück, die durch äußere Störungen angeregt werden.

Wenn Sie an Ausschnitten aus der Originalarbeit von Thomson (das Atommodell betreffend) interessiert sind, dann finden Sie diese hier .

Modellrechnung zum Bohr-Modell

Energiebetrachtung am Modell von RUTHERFORD

Die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}(r)\) eines Elektrons, dass sich im Abstand \(r\) im elektrischen Feld des Kerns der Ladung \(Z \cdot e\) befindet, setzt sich aus der kinetischen Energie \({E_{{\rm{kin}}}}(r)\) und der potenziellen Energie \({E_{{\rm{pot}}}}(r)\) zusammen.
Da in der bekannten allgemeinen Formel für die kinetische Energie
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_e}^2\]
die Geschwindigkeit \({v_e}\) nicht bekannt ist, nutzt man, dass hier die Coulombkraft \({F_{\rm{C}}}\) als Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\) wirkt. Damit gilt
\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{{r^2}}} = {m_e} \cdot \frac{{{v_e}^2}}{r} \Leftrightarrow {m_e} \cdot {v_e}^2 = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{r}\]
Somit ergibt sich für die \(r\)-Abhängigkeit der kinetischen Energie
\[{E_{{\rm{kin}}}}(r) = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_e}^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{r} = \frac{1}{{8 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{r}\]
Die potenzielle Energie erhält man mit der Tatsache, dass die Änderung der potenziellen Energie stets gleich der verrichteten Arbeit ist:
\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = \int\limits_a^b {\vec F}  \cdot d\vec s\]
Es soll nun die Änderung der potenziellen Energie berechnet werden, wenn man das Elektron vom unendlich fernen Punkt (dem man üblicherweise die potenzielle Energie Null zuordnet) auf eine Bahn bringt, die den Abstand \(r\) vom (unbeweglichen) Kernmittelpunkt hat:
\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = \int\limits_\infty ^r {\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{{s^2}}}}  \cdot ds = \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\left[ { - \frac{1}{s}} \right]_\infty ^r =  - \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]
Für die potenzielle Energie in der Entfernung \(r\) gilt wegen der Festlegung des Potenzialnullpunkts
\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) - {E_{{\rm{pot}}}}(\infty ) = \Delta {E_{{\rm{pot}}}} \Rightarrow {E_{{\rm{pot}}}}(r) =  - \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]
Man sieht aus dieser Rechnung, dass im Coulombfeld der Betrag der potenziellen Energie stets doppelt so groß ist wie der Betrag der kinetischen Energie. Für die Gesamtenergie gilt dann
\[{E_{{\rm{ges}}}}(r) = {E_{{\rm{kin}}}}(r) + {E_{{\rm{pot}}}}(r) = \frac{1}{{8 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{r} - \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r} =  - \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{8 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]
Im Rutherford-Modell besteht nun keine Einschränkung bezüglich des möglichen Radius. Somit sind alle Elektronenenergien möglich und die quantenhafte Emission und Absorption von elektromagnetischer Strahlung nicht erklärbar.

Energiebetrachtung am Modell von BOHR

Die Quantenbedingung von BOHR führt nun dazu, dass die Radien der Elektronenbahnen, die Bahngeschwindigkeiten und auch die Energien nicht mehr jeden Wert annehmen können. In der folgenden Rechnung werden daher diese Größen mit dem Index \(n\) versehen, wobei \(n\) die in der Quantenbedingung vorkommende natürliche Zahl ist. Kombiniert man den Kraftansatz
\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{{r_n}^2}} = {m_e} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \Leftrightarrow {m_e} \cdot {v_n}^2 = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{{r_n}}} \quad(1)\]
mit der Quantenbedingung
\[{m_e} \cdot {r_n} \cdot {v_n} = \frac{{n \cdot h}}{{2 \cdot \pi }} \quad(2)\]
so erhält man durch Einsetzen von \((2)\) in \((1)\)
\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_e} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2}(3)\]
Setzt man in diese Gleichung die Konstanten ein, so erhält man für \(Z=1\) und \(n = 1\) den sogenannten 1. Bohrschen Radius
\[{r_1} = 0,53 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]
Dieses Ergebnis stellt schon einen kleinen Erfolg der Theorie dar, wird doch die Größenordnung des Atomradius richtig angegeben.
Setzt man weiter \((3)\) in \((2)\) ein, so erhält man für die Geschwindigkeiten
\[{v_n} = \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{2 \cdot {\varepsilon _0} \cdot h}} \cdot \frac{1}{n}\]
und wieder mit \(Z=1\) und \(n = 1\)
\[{v_1} = 2,2 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
d.h. die nichtrelativistische Rechnung war zulässig. Der zur Zeit Bohrs überwältigende Erfolg seiner Theorie zeigt sich jedoch, wenn man die Beziehung \((3)\) für den Radius in die Formel für die Gesamtenergie einsetzt, die wir beim Rutherford-Modell gewonnen haben:
\[{E_{{\rm{ges}}}} =  - \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{8 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r} =  - \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{8 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{\frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2}}} =  - \frac{{{Z^2} \cdot {e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} =  - 13,6{\rm{eV}} \cdot Z^2 \cdot \frac{1}{{{n^2}}}\]
Für Wasserstoff mit \(Z = 1\) ergibt sich damit im Grundzustand (\(n = 1\)) eine Gesamtenergie von \(-13,6{\rm{eV}}\). Damit ist die Ionisierungsenergie, d.h. die Energie die man braucht, um das Elektron vom Grundzustand in den freien Zustand zu bringen, \(13,6{\rm{eV}}\). Diese Energie stimmte sehr gut mit dem experimentell bestimmten Wert überein.

In der Animation sind zunächst die möglichen Energiewerte im Rutherford-Modell dargestellt; Anschließend wird gezeigt, wie durch Einführen der Quantenbedingung die möglichen Energiewerte eingeschränkt werden.

Herleitung der Serienformel

Geht das Elektron von der \(m\)-ten auf die \(n\)-te Quantenbahn über \((m > n)\), so wird Strahlung der Frequenz \(f\) nach  \(h \cdot f = {E_m} - {E_n}\) ausgesandt. Mit den obigen Ergebnissen ergibt sich daraus
\[h \cdot f = {E_m} - {E_n} =  - \frac{{{Z^2} \cdot {e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{m^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = \frac{{{Z^2} \cdot {e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right);\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
Mit \(f = \frac{c}{\lambda }\) ergibt sich nach Auflösen nach \(\lambda\)
\[\frac{1}{\lambda } = \frac{{{Z^2} \cdot {e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right);\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
Diese Beziehung hat für \(Z=1\) genau die Struktur der allgemeinen Serienformel des Wasserstoffs und es zeigt sich, dass der Faktor vor der Klammer ziemlich genau der Rydbergkonstanten von Wasserstoff entspricht (nicht ganz genau, da die Herleitung ohne die Kernmitbewegung gerechnet wurde). Die richtige Berechnung der Rydbergkonstanten aus Naturkonstanten stellte den großen Erfolg der bohrschen Theorie dar.
\[R = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}} = 1,097 \cdot {10^7}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}}\]

Unter Verwendung der Rydbergkonstanten kann die Gesamtenergie des Elektrons im Wasserstoffatom nun in der Form
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} =  - R \cdot h \cdot c \cdot \frac{1}{{{n^2}}}\]
geschrieben werden.

In der nebenstehenden Abbildung ist das aufgrund der Energieformel entwickelte Termschema des Wasserstoff samt den wichtigsten Spektralserien dargestellt.

Der energetisch tiefste Zustand (\(n = 1\)) kennzeichnet den Grundzustand des Wasserstoffatoms. Die höheren Energiewerte entsprechen angeregten Zuständen. Mit zunehmender Anregung nehmen die bohrschen Radien zu, die Bindung des Elektrons an den Kern wird schwächer.

Die oberen Grenze des diskreten Energie-Termschemas (\(n = \infty \)) entspricht \(r = \infty \). Oberhalb dieser Grenze ist das Elektron nicht mehr an den Kern gebunden, es kann beliebige Energien annehmen (kontinuierliches Energiespektrum). Die Gesamtenergie wird dann ausschließlich durch die kinetische Energie bestimmt (\({E_{{\rm{pot}}}} = 0\)).

Wenn du (als Experte) daran interessiert bist, wie BOHR die Serienformel und damit auch einen Ausdruck für die Rydberg-Konstante gewonnen hat, so kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.

Dynamidenmodell von Lenard

Aus den Versuchen mit Kathodenstrahlen gelangte Lenard zum sogenannten Dynamidenmodell des Atoms.

Er untersuchte das Absorptionsverhalten von Folien bei ganz niederen Elektronengeschwindigkeiten, wie sie z.B. beim Photoeffekt auftreten, bis hin zu den Elektronen, die von ß-Strahlern stammten, welche nahezu Lichtgeschwindigkeit erreichten.
Für niedrige Elektronengeschwindigkeiten wird die Elektronenablenkung durch die elektrischen und magnetischen Felder im Atom bewirkt. Dabei ergab sich ein Wirkungsquerschnitt des Atoms, der etwa dem Quadrat des Atomradius entsprach. Für hohe Geschwindigkeiten fand Lenard die im Massenabsorptionsgesetz formulierte Unabhängigkeit von den chemischen Eigenschaften des Atoms und zudem die fast völlige Durchlässigkeit der Materie für schnelle Elektronenstrahlung.

Er schreibt im Jahre 1903:
"Die Ausbreitungsweise der Kathodenstrahlen in der Materie wirft ein eigentümliches Licht auf die Raumerfüllung der letzteren. Jedes materielle Atom beansprucht erfahrungsgemäß einen gewissen Raum, in welchen ein anderes Atom nicht eindringen kann. Daß jedoch die Atome innerhalb dieser ihrer Volumina noch einen Aufbau aus feineren Bestandteilen aufweisen müssen und zwar mit vielen freien Zwischenräumen, war durch die Ausbreitungsweise der Kathodenstrahlen nahegelegt von der Zeit an, als man in denselben fortbewegte Quanten sehen lernte."

In einer Zusammenfassung seiner Arbeiten schreibt Lenard weiter:
"Das aus meinen ersten Absorptionsmessungen hervorgegangene Gesetz der Massenpropotionalität hat Herrn J. J. Thomson veranlaßt, sämtliche Atome als aus positiver und negativer Elektrizität aufgebaut anzunehmen . . . wobei er zuletzt einen gleichmäßig von positiver Elektrizität erfüllten Atomraum bevorzugte, in welchem eine dem Atomgewicht proportionale Zahl negativer Elementarquanten kreise. Die mittlerweile durchgeführte Vervollständigung der Absorptionsmessungen über alle Geschwindigkeiten ließ mich dagegen annehmen, daß nicht nur die negative, sondern auch die positive Elektrizität der Atome auf sehr kleine Räume konzentriert sei, so daß das Atomvolumen in der Hauptsache nur von den Kraftfeldern der beiden Elektrizitäten erfüllt ist. Da die beiden Elektrizitäten im elektrisch neutralen Atom in gleicher Menge vorhanden sein müssen, war es das einfachste, je ein negatives und ein positives Elementarquant zu einem Paar vereint anzunehmen und alle Atome als aus solchen Paaren - die ich Dynamiden nannte - aufgebaut anzunehmen. Jede Dynamide mußte, schon um die Aufrechterhaltung des Abstandes der beiden Quanten zu erklären, als in rotierender Bewegung befindlich angenommen werden, und da, bei der bereits bekannten Kleinheit der Masse des negativen Quants, die große Hauptmasse des Atoms im positiven Quant zuzuschreiben war, so war anzunehmen, daß das negative Quant es sei, welches um das positive kreise. Wie die so vorgestellten Dynamiden angeordnet seien, blieb dabei unbestimmt, nur mußte ihre Zahl wegen der Massenproportionalität der Kathodenstrahlabsorption proportional dem Atomgewicht angenommen werden. . . ".

Später brachte Lenard auch noch einen direkten Größenvergleich:
Ein genügend schnell bewegtes Strahlquantum kann frei Tausende von Atomen durchqueren, ohne daß seine Geschwindigkeit nach Größe und Richtung wesentlich sich änderte. Beispielsweise ist der Raum, in welchem ein Kubikmeter festes Platin sich befindet, leer bis auf höchstenfalls ein Kubikmillimeter als gesamtes wahres Dynamidenvolumen.

Auf dem Weg zum Atommodell von Rutherford stellt das von Lenard entwickelte Dynamidenmodell einen wichtigen Zwischenschritt dar. Im Gegensatz zum Atommodell von Thomson wird angenommen, dass die positive Ladung und der Sitz der Masse auf einen sehr kleinen Raumbereich beschränkt ist.

Kernmitbewegung

Der geringfügige Unterschied zwischen den Balmer-Linien des Wasserstoffs und den entsprechenden Linien der Pickering-Serie erklärt sich aus den unterschiedlichen Massen des Wasserstoffkerns und des Heliumkerns.

In der einfachen Herleitung der bohrschen Theorie wurde davon ausgegangen, dass das Elektron um den Kernmittelpunkt kreist. Dies wäre jedoch nur bei sehr schweren (im Grenzfall "unendlich" schweren) Kernen richtig. Tatsächlich kreisen Kern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt S.

Um die bisher entwickelte Theorie weiter benutzen zu können (Elektron kreist um den Kernmittelpunkt) wird die Elektronenmasse \({m_e}\) durch die sogenannte reduzierte Masse \(m'\) ersetzt. Bei der Bestimmung von \(m'\) geht man davon aus, dass \(m'\) bei der Rotation um den Kernmittelpunkt (Radius \({r_e} + {r_{\rm{K}}}\)) die gleiche Zentripetalkraft erfahren muss, wie das Elektron der Masse \({m_e}\) bei der Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt S:
\[m' \cdot \left( {{r_e} + {r_{\rm{K}}}} \right) \cdot {\omega ^2} = {m_e} \cdot {r_e} \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow m' = \frac{{{m_e} \cdot {r_e}}}{{{r_e} + {r_{\rm{K}}}}} \quad(1)\]
Außerdem gilt (Hebelgesetz)
\[{m_{\rm{K}}} \cdot {r_{\rm{K}}} = {m_e} \cdot {r_e} \Leftrightarrow {r_{\rm{K}}} = \frac{{{m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}} \cdot {r_e} \quad(2)\]
Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so erhält man
\[m' = \frac{{{m_e} \cdot {r_e}}}{{{r_e} + \frac{{{m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}} \cdot {r_e}}} = \frac{{{m_e}}}{{1 + \frac{{{m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}}}} = \frac{{{m_e}}}{{\frac{{{m_{\rm{K}}} + {m_e}}}{{{m_{\rm{K}}}}}}} = \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {m_e}}}{{{m_{\rm{K}}} + {m_e}}}\]

Für die Berechnung der Spektralserien hast du beim Einelektronensystem die Beziehung
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right);\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
kennengelernt. Die einfache Rechnung ergab für die Rydbergkonstante \(R\)
\[R = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}}\]
Da bei der einfachen Rechnung keine Kernmitbewegung berücksichtigt wurde, also so getan wurde als läge ein "unendlich" schwerer Kern vor, schreibt man für obiges \(R\) auch
\[{R_\infty } = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}} = 1,0973732 \cdot {10^7}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}}\]
Für die Spektralserien des Wasserstoffatoms muss man in die Rydbergkonstante anstelle von \({m_e}\) die reduzierte Masse \({m'}\) einsetzen (\(m_p\) bedeutet die Protonenmasse):
\[{R_{\rm{H}}} = \frac{{{e^4} \cdot m'}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}}\;{\rm{mit}}\;m' = \frac{{{m_p} \cdot {m_e}}}{{{m_p} + {m_e}}}\]
Damit ergibt sich für \({R_{\rm{H}}}\)
\[{R_{\rm{H}}} = 1,0967758 \cdot {10^7}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}}\]

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf der Rydbergkonstanten in Abhängigkeit von der Ordnungszahl (bzw. Massezahl) \(A\).

Hinweis: Mit einem hochauflösenden Spektrographen entdeckte man bei den Linien des Wasserstoffspektrums noch sogenannte Satellitenlinien. Sie sind auf das im natürlichen Isotopengemisch vorhandene Deuterium (schwerer Wasserstoff) zurückzuführen.

Spektrum von He+ - Pickering-Serie

Im Jahre 1897 stellte der amerikanische Astronom Pickering im Licht des Sterns ξ-Puppis eine Spektralserie fest (in der Abbildung "blau" dargestellt), die viel mit der Balmer-Serie des Wasserstoffs (in der Abbildung "lila" dargestellt) gemeinsam hat.

Man sieht:

Jede zweite Linie der Pickering-Serie fällt mit einer Linie der Balmer-Serie fast zusammen

Zwischen zwei Balmer-Linien befindet sich stets eine zusätzliche Linie der Pickering-Serie

Rydberg konnte zeigen, dass für die Linien der Pickering-Serie ein ähnliches Gesetz gilt wie für die Balmer-Serie des Wasserstoffs. Jedoch nimmt die Laufvariable k in diesem Gesetz nicht nur positive ganzzahlige sondern auch halbzahlige Werte an:
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{k^2}}}} \right);\;k \in \left\{ {2,5\;;\;3\;;\;3,5\;;\;4\;;\;...} \right\}\]
Zunächst glaubte man, dass diese Abweichung von der Balmer-Serie darauf zurückzuführen ist, dass der Wasserstoff auf ξ-Pupis in einem ganz besonderen Zustand ist. Später konnte jedoch die Pickering-Serie auch bei terrestrischen Versuchen nachgewiesen werden, bei denen dem Wasserstoff noch Helium beigemischt war. Bohr "entlarvte" schließlich die Pickering-Serie als das Emissionsspektrum von einfach ionisiertem He: He+

Für die Gesamtenergie eines Elektrons auf der \(n\)-ten Quantenbahn eines Einelektronensystems mit der Kernladung \(Z \cdot \)e gilt
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} =  - R \cdot h \cdot c \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}} =  - 13,6{\rm{eV}} \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}\]

Beim Übergang von der \(m\)-ten zur \(n\)-ten Quantenbahn (\(m > n\)) wird ein Photon der Energie \(h \cdot f\) emittiert. Dabei gilt
\[h \cdot f = {E_{ges,m}} - {E_{ges,n}};\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
Mit \(f = \frac{c}{\lambda }\) ergibt sich weiter
\[h \cdot \frac{c}{\lambda } = R \cdot h \cdot c \cdot {Z^2} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda } = R \cdot {Z^2} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right);\;m,n \in \mathbb{N},\;m > n\]
Für das einfach ionisierte Heliumion gilt \(Z = 2\) und damit
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot {2^2} \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right) = R \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {\frac{n}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}}} \right)\]
Für \(n = 4\) und \(m \in \left\{ {5\;;\;6\;;\;7\;;\;8\;;\;...} \right\}\) gilt dann
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {\frac{4}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}}} \right) = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}}} \right)\;;\;m \in \left\{ {5\;;\;6\;;\;7\;;\;8\;;\;...} \right\}\]
Setzt man schleißlich \({\frac{m}{2} = k}\), so folgt
\[\frac{1}{\lambda } = R \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{k^2}}}} \right);\;k \in \left\{ {2,5\;;\;3\;;\;3,5\;;\;4\;;\;...} \right\}\]
Dies ist nun genau die eingangs erwähnte von Rydberg gefundene Formel für die Pickering-Serie.

In der folgenden Abbildung sind die beiden Termschemata für Wasserstoff und einfach ionisiertes Helium gegenübergestellt:

Die oben entwickelten Gedanken lassen sich auch auf Einelektronensysteme wie Li++ und Be+++ anwenden.

Allerdings wird durch diese Theorie noch nicht erklärt, warum jede zweite Linie des Wasserstoff- und He+-Spektrums nicht exakt zusammenfallen. Lesen Sie hierzu die Seite über die Kernmitbewegung.

Exotische Atome

Bei exotischen Atomen besteht entweder das positive Kernteilchen nicht aus einem Proton oder die negativ geladene Hülle nicht aus einem Elektron, sondern aus anderen Elementarteilchen.

Myonische Atome

Myonische Atome bestehen aus einem Kern der Ladung \(Z \cdot e\), einem negativ geladenen Myon \({\mu^-}\) und einer Anzahl von Elektronen. Dabei lassen sich negative Myonen durch Beschuss von Materie mit Protonen nach folgenden Schema erzeugen:
\[p + n \to n + n + {\pi ^ - } \to n + n + {\mu ^ - } + {{\bar \nu }_\mu }\]
Die bei diesen Reaktionen noch entstehenden Teilchen nennt man Pionen (\(\pi \)) und Neutrinos (\(\nu \)). Die Myonen sind keine stabilen Teilchen, sie zerfallen mit einer Halbwertszeit von \({T_{1/2}} = 2,2 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{s}}\) nach dem Schema
\[{\mu ^ - } \to {e^ - } + {{\bar \nu }_e} + {\nu _\mu }\]
Das Myon, welches sehr leicht die Rolle eines Elektrons im Atom einnehmen kann, wird auf einem Orbital hoher Quantenzahl eingefangen und fällt kaskadenartig in den Grundzustand.

Da die Myonenmasse ca. 207mal so hoch ist wie die Elektronenmasse ergeben sich für das Myonen-Atom einige Besonderheiten:

Das Myon hält sich sehr nahe am Kern, z.T. auch innerhalb des Kerns auf. Daher sind Myonen-Atome gut geeignet, um Kerneigenschaften zu erforschen.

Die Energieskala innerhalb des Atoms (typische Abstände der Energieniveaus) wird durch die Rydbergkonstante bestimmt. In diese ist die reduzierte Masse des Myons einzusetzen, welche erheblich größer als die Elektronenmasse ist. Als Folge davon liegen die Übergänge zwischen den Niveaus im Myonen-Atom im Bereich harter Röntgenstrahlung bzw. Gammastrahlung.

Vergleichen Sie hierzu auch die Musteraufgabe über das Myonen-Atom.

Antiwasserstoff

Am CERN ist es gelungen den sogenannten Antiwasserstoff zu erzeugen, der auch als exotisches Atom zählt. Sein Kern besteht aus einem Antiproton und in der Hülle befindet sich das Antiteilchen des Elektrons, das sogenannte Positron.

Vergleichen Sie hierzu auch die Musteraufgabe über das AEGIS-Experiment mit Antiwasserstoff.

Rydberg-Atome

Nach HEISENBERG verliert der exakte Bahnbegriff in der Mikrophysik seinen Sinn. Man kann nur Räume angeben, in denen sich die negative Ladung der Hülle mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit befindet (Orbitale). Insofern ist das bohrsche Bild vom Atom überholt.

Durch neue Techniken (insbesondere die Lasertechnik) gelingt es, ein einzelnes Atom in einen sehr hohen Anregungszustand zu versetzen (z.B. \(n = 100\)). Man bezeichnet Atome in diesen hochangeregten Zuständen als Rydberg-Atome. Bei Rydberg-Atomen kann das Elektron in guter Näherung als klassisches Teilchen behandelt werden, das in relativ großer Entfernung den Kern umkreist (Planetenmodell). Die bohrsche Theorie kann auf Rydberg-Atome in guter Näherung angewandt werden.

Einige Besonderheiten der Rydberg-Atome:

Der bohrsche Radius wächst proportional zu \(n^2\). Für \(n = 100\) ergibt sich ein Hüllendurchmesser des Rydberg-Atoms von ca. \(0,5 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\). Dieser Durchmesser ist ca. 10000mal größer als der eines üblichen Atoms von ca. \({10^{ - 10}}{\rm{m}}\).

Die Energiedifferenz zwischen benachbarten Energieniveaus nimmt grob mit \(\frac{1}{{{n^3}}}\) ab (vgl. bohrsches Korrespondenzprinzip). Für den Übergang von \(n =101\) nach \(n = 100\) ergibt sich \(\Delta E = 0,03{\rm{meV}}\). Die bei diesem Übergang emittierte Strahlung liegt im Mikrowellenbereich.

Die Lebensdauer hochangeregter Zustände in Rydberg-Atomen beträgt einige Millisekunden (die Lebensdauer von niedrig angeregten Zuständen dagegen nur ca. \({10^{ - 8}}{\rm{s}}\)).

Die Bindungsenergie des Elektrons in Rydberg-Zuständen ist wegen
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,n}}}} =  - R \cdot h \cdot c \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}} =  - 13,6{\rm{eV}} \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}\]
sehr klein. Um die Ionisation des Rydberg-Atoms zu verhindern muss es vor Stößen geschützt werden. Man "konserviert" daher solche Atome z.B. bei tiefen Temperaturen in sogenannten Atomfallen (spezielle Feldanordnung, in der einzelne Atome eingefangen werden können).

Das Studium der Rydberg-Atome ist insofern interessant als durch sie das bohrsche Korrespondenzprinzip, nach dem für große Quantenzahlen die quantenmechanische Beschreibung eines Atoms in die klassische Beschreibung übergeht, getestet werden kann. Vergleichen Sie hierzu auch den Artikel Gigantische Rydberg-Moleküle - von der Theorie zum Experiment und die Musteraufgaben über Rydberg-Atome.


Was ist ein Atomkern - Video

Videofilm aus der Sendereihe Alpha-Centauri von Prof. Lesch. Es wird dargestellt, wie Rutherford auf das Kern-Hülle-Modell gelangte und die Kraft beschrieben, welche die Nukleonen Proton und Neutron zusammenhält.
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