BOHRsches Atommodell

Die Streuversuche von RUTHERFORD, bei denen Alphateilchen auf eine Goldfolie geschossen wurden, führten das Rosinenkuchenmodell von THOMSON ad Absurdum, da einzelne Alphateilchen um Winkel größer als \(90^\circ \) gestreut wurden, was bei einer homgenen Massenverteilung wie bei THOMSON nicht möglich gewesen wäre.

Die diskreten Energiestufen des Wasserstoffatoms, die sich aus der Untersuchung der Emissionslinien durch BALMER, LYMAN, PASCHEN und andere abzeichneten, konnten durch das Atommodell von RUTHERFORD, das sämtliche Elektronenbahnen und damit sämtliche Energien für das Elektron zuließ, nicht erklärt werden.

Nach dem BOHRschen Modell eines Einelektronensystems wirkt auf der \(n\)-ten Quantenbahn die Coulombkraft \(F_{\rm{C}}\) als Zentripetalkraft \(F_{{\rm{ZP}}}\), d.h.\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = {{m_{\rm{e}}}} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \quad(1)\]Weiter gilt nach dem BOHRschen Postulat\[2 \cdot \pi  \cdot {r_n} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_n} = n \cdot h \quad(2)\]Kombiniert man \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_{\rm{e}}}}} \cdot {n^2} \]

Die Pionenmasse ist das 273-fache der Elektronenmasse, man muss also statt \(m_{\rm{e}}\) den Term \(273 \cdot m_{\rm{e}}\) setzen. Damit ergibt sich\[{r_{n,\pi }} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot 273 \cdot {m_{\rm{e}}}}} \cdot {n^2}\]Setzt man alle Naturkonstanten und \(Z = 29\) ein, so ergibt sich\[{r_{n,\pi }} = \frac{{{{\left( {6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}} \right)}^2} \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}}{{\pi  \cdot 29 \cdot {{\left( {1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2} \cdot 273 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} \cdot {1^2} = 6,7 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]

\[{r_{\rm{K}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A} \Rightarrow {r_{{\rm{K}}{\rm{,Cu}}}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{64}} = 5,6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]Der innerste Bahnradius des Pionatoms ist nur wenig größer als der Kernradius, das Pion gerät also in den Einflussbereich der Kernkräfte.