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Aufgabe

Pionenatom (Abitur BY 1993 LK A4-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei der Entwicklung der Atomphysik haben die Atommodelle von THOMSON, RUTHERFORD und BOHR eine wesentliche Rolle gespielt.

a)Nennen Sie jeweils mit kurzer Begründung einen experimentellen Befund, der die Verbesserung des Atommodells von THOMSON bzw. des von RUTHERFORD erforderlich machte. (6 BE)

b)Leiten Sie mit dem Modell von BOHR allgemein den Radius der \(n\)-ten Quantenbahn für ein Einelektronensystem mit der Kernladung \(Z \cdot e\) her. (9 BE)

Um genauere physikalische Erkenntnisse über den Kernaufbau zu erhalten, werden in Laborversuchen Atome erzeugt, bei denen Elektronen durch Pionen ersetzt werden. Ein Pion besitzt dieselbe Ladung wie ein Elektron, aber die 273fache Masse desselben. Mit gewissen Vereinfachungen kann die Theorie von BOHR auch auf "Pionenatome" angewendet werden.

c)Modifizieren Sie das Ergebnis von Teilaufgabe b) in geeigneter Weise, und berechnen Sie den Radius der innersten Bahn für ein Kupfer-Pionenatom. (7 BE)

d)Berechnen Sie zum Vergleich den Radius eines Kupfer-Atomkerns.

Erläutern Sie, warum demnach Experimente mit Pionenatomen auch Erkenntnisse über den Kernaufbau vermitteln können. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Streuversuche von RUTHERFORD, bei denen Alphateilchen auf eine Goldfolie geschossen wurden, führten das Rosinenkuchenmodell von THOMSON ad Absurdum, da einzelne Alphateilchen um Winkel größer als \(90^\circ \) gestreut wurden, was bei einer homgenen Massenverteilung wie bei THOMSON nicht möglich gewesen wäre.

Die diskreten Energiestufen des Wasserstoffatoms, die sich aus der Untersuchung der Emissionslinien durch BALMER, LYMAN, PASCHEN und andere abzeichneten, konnten durch das Atommodell von RUTHERFORD, das sämtliche Elektronenbahnen und damit sämtliche Energien für das Elektron zuließ, nicht erklärt werden.

b)Nach dem BOHRschen Modell eines Einelektronensystems wirkt auf der \(n\)-ten Quantenbahn die Coulombkraft \(F_{\rm{C}}\) als Zentripetalkraft \(F_{{\rm{ZP}}}\), d.h.\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = {{m_{\rm{e}}}} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \quad(1)\]Weiter gilt nach dem BOHRschen Postulat\[2 \cdot \pi  \cdot {r_n} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_n} = n \cdot h \quad(2)\]Kombiniert man \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_{\rm{e}}}}} \cdot {n^2} \]

c)Die Pionenmasse ist das 273-fache der Elektronenmasse, man muss also statt \(m_{\rm{e}}\) den Term \(273 \cdot m_{\rm{e}}\) setzen. Damit ergibt sich\[{r_{n,\pi }} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot 273 \cdot {m_{\rm{e}}}}} \cdot {n^2}\]Setzt man alle Naturkonstanten und \(Z = 29\) ein, so ergibt sich\[{r_{n,\pi }} = \frac{{{{\left( {6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}} \right)}^2} \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}}{{\pi  \cdot 29 \cdot {{\left( {1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2} \cdot 273 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} \cdot {1^2} = 6,7 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]

d)\[{r_{\rm{K}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A} \Rightarrow {r_{{\rm{K}}{\rm{,Cu}}}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{64}} = 5,6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]Der innerste Bahnradius des Pionatoms ist nur wenig größer als der Kernradius, das Pion gerät also in den Einflussbereich der Kernkräfte.