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Aufgabe

Korrespondenzprinzip von BOHR (Abitur BY 1994 LK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Nach dem Atommodell von BOHR ergibt sich bei einem Einelektronensystem mit der Kernladungszahl \(Z\) für die Geschwindigkeit \(v_n\) des Elektrons bzw. für den Radius \(r_n\) der \(n\)-ten Quantenbahn\[v_n = \frac{Z \cdot e^2 }{2 \cdot h \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{1}{n}\;{\rm{bzw.}}\;r_n = \frac{h^2 \cdot \epsilon_0}{\pi \cdot  m_e \cdot e^2 \cdot  Z} \cdot n^2\]

a)Berechnen Sie den Radius und die Geschwindigkeit für die 1. Quantenbahn des einfach ionisierten Helium-Atoms. (5 BE)

b)Berechnen Sie, welcher Wert sich für die Geschwindigkeitsunbestimmtheit \(\Delta {v_x}\) des Elektrons im einfach ionisierten Helium-Atom ergibt, wenn als Ortsunbestimmtheit \(\Delta x\) des Elektrons der Durchmesser der 1. Quantenbahn angenommen wird.

Erläutern Sie, was sich demnach über den BOHRschen Bahnradius und die Bahngeschwindigkeit auf der 1. Quantenbahn aussagen lässt. (7 BE)

c)Nach dem klassischen Modell beruht die Lichtaussendung der Atome auf der Kreisbewegung der Elektronen. Eine "Korrespondenz" zwischen klassischer und quantentheoretischer Betrachtung fand BOHR. Er verglich die Umlauffrequenz des Elektrons auf der \(n\)-ten Quantenbahn mit der Frequenz der emittierten Lichtquanten beim Übergang eines Elektrons von der \((n +1)\)-ten auf die \(n\)-te Quantenbahn für sehr große Quantenzahlen \(n\).

Führen Sie durch Rechnung den Vergleich der beiden Frequenzen für das H-Atom allgemein durch. Verwenden Sie zur Vereinfachung die für große \(n\) gültige Näherung \(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n +1)^2} \approx \frac{2}{n^3}\) (12 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Setzt man in die Formeln\[{v_n} = \frac{{Z \cdot {e^2}}}{{2 \cdot {\varepsilon _0} \cdot h}} \cdot \frac{1}{n}\]und\[{r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2}\]für \(Z=2\) und \(n=1\), so erhält man\[{v_1} = \frac{{2 \cdot {{\left( {1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} \cdot \frac{1}{1} = 4,4 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]und\[{r_1} = \frac{{{{\left( {6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}} \right)}^2} \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}}{{\pi  \cdot 2 \cdot {{\left( {1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2} \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} \cdot {1^2} = 2,6 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}}\]

b)Nach der Unschärferelation von HEISENBERG\[\Delta x \cdot \Delta {p_x} \ge \frac{h}{{4 \cdot \pi }}\]ergibt sich mit \(\Delta x = 2 \cdot {r_1}\) und \(\Delta {p_x} = {m_e} \cdot \Delta {v_1}\)\[\Delta {v_1} \ge \frac{h}{{4 \cdot \pi  \cdot 2 \cdot {r_1} \cdot {m_e}}} \Rightarrow \Delta {v_1} \ge \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 2 \cdot 2,6 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}} \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} = 1,1 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Die Annahme von definierten Bahnen und gleichzeitig diskreten Geschwindigkeiten widerspricht der Unschärferelation von HEISENBERG.

c)Für die klassisch nach BOHR berechnete Kreisfrequenz \({f_{\rm{B}}}\) gilt\[{f_{{\rm{B}}{\rm{,n}}}} = \frac{{{v_n}}}{{2 \cdot \pi  \cdot {r_n}}} = \frac{{\frac{{{e^2}}}{{2 \cdot h \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{n}}}{{2 \cdot \pi  \cdot \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2}}} = \frac{{{m_e} \cdot {e^4}}}{{4 \cdot {h^3} \cdot {\varepsilon _0}^2}} \cdot \frac{1}{{{n^3}}}\]Die Frequenz \({f_{\rm{L}}}\) des Lichtes ergibt sich aus der allgemeinen Serienformel und der Größe für die RYDBERG-Konstante\[{f_{\rm{L}}} = \frac{c}{\lambda } = {R_\infty } \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}} \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right) \approx \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3}}} \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]Beide Frequenzen sind gleich groß.