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Grundwissen

Atommodell von BOHR

Das Wichtigste auf einen Blick

  • BOHR versucht die die zentralen Probleme des Rutherford-Modells (Stabilität und quantenhafte Emission und Absorption) mit drei Postulaten zu lösen.
  • Die mit den drei Postulaten verbundene Vorstellung um den Kern kreisender Elektronen ist jedoch nicht haltbar!
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Vorbemerkung

Abb. 1 Atommodell von BOHR mit den auf diskreten Bahnen um den positiv geladenen Kern kreisenden Elektronen

Das Atommodell von BOHR, so wie es oft genau wie in der Animation in Abb. 1 dargestellt wird, stellt aus der Sicht des heute anerkannten quantenmechanischen Atommodells nur eine Zwischenstation bei der Modellentwicklung dar. Besonders die Beibehaltung der doch so anschaulichen Elektronenbahnen um den Kern muss aus der Sicht der Quantenmechanik kritisiert werden. Auch die Postulate von BOHR sind teilweise nicht klar begründet, Roman Sexl spricht von einer "juristischen Lösung" der Probleme des Atommodells von RUTHERFORD durch den Dänen Niels BOHR.

Das Atommodell von BOHR ist in vielen Bundesländern nicht mehr Gegenstand des Unterrichts. Für interessierte Schülerinnen und Schüler kann dieser wichtige Meilenstein auf dem Weg zum heute anerkannten Atommodell der Quantenphysik jedoch lehrreich sein. Darüber hinaus kann man bei den Modellrechnungen zum Atommodell von BOHR seine Kenntnisse über elektrische Felder und Potentiale noch einmal auffrischen. Das quantenphysikalische Modell kann hingegen leider mit den mathematischen Mitteln der Schule für realistische Potentialverhältnisse nicht bewältigt werden. 

Probleme des Atommodells von RUTHERFORD

  • Mit dem Atommodell von RUTHERFORD kann die Stabilität der Atome nicht erklärt werden. Aus klassischer Sicht führen die kreisenden Elektronen eine beschleunigte Bewegung aus und beschleunigte Ladungen strahlen elektromagnetische Energie ab. Die Folge davon wäre ein Absturz der Elektronen in den Kern.
  • Das Atommodell von RUTHERFORD kann die quantenhafte Emission und Absorption von Energie durch die Atome nicht erklären. Als Folge dieser experimentell gesicherten Tatsache (z.B. BALMER-Serie; Umkehr der Na-Linie; FRANCK-HERTZ-Versuch) muss man diskrete Energiezustände im Atom annehmen. Da im Atommodell von RUTHERFORD jedoch alle möglichen Radien der Elektronenbahnen und damit auch alle Elektronengeschwindigkeiten erlaubt waren, kann die Gesamtenergie (potenzielle Energie + kinetische Energie) des Elektrons keine diskreten Werte annehmen.

BOHRs Lösung durch drei Postulate

BOHR löst das Problem im Jahre 1913 durch die Einführung von Postulaten (salopp: "per Dekret"), indem er die durch PLANCK beim schwarzen Strahler und durch EINSTEIN beim Photon eingeführte Quantisierung auf das Atom überträgt. Es sei allerdings schon an dieser Stelle vermerkt, dass sein 3. Postulat (Quantenbedingung) aus heutiger Sicht nicht mehr haltbar ist. Außerdem zeigte sich, dass seine Theorie nur für den Wasserstoff und damit eng verwandten Systemen erfolgreich war.

Hinweis: Die im Folgenden dargestellten Postulate wurden in dieser Reihenfolge von BOHR so nicht aufgestellt. BOHR ging, um zu seiner Quantenbedingung zu kommen, von den experimentell gefunden Gesetzen über die Spektralserien aus und wandte dabei das Korrespondenzprinzip an. Die Berechnungen am Atommodell von BOHR fallen allerdings mit den folgenden Postulaten etwas einfacher aus.

1. Postulat (Diskrete Energiestufen):

Die Energie eines Elektrons im Atom kann nur diskrete Werte En annehmen.

2. Postulat (Lichtemission):

Die Frequenz der ausgesandten elektromagnetischen Strahlung ergibt sich aus der Energiedifferenz zwischen dem Ausgangs- und dem Endzustand.\[h \cdot f = {E_{\rm{m}}} - {E_{\rm{n}}}\;{\rm{mit}}\;{\rm{m}}{\rm{,n}} \in \mathbb{N}\;{\rm{und}}\;{\rm{m > n}}\]

Dieses zweite Postulat erscheint uns als nichts anderes als die Anwendung des Energiesatzes auf den Vorgang der Lichtemission zu sein. Zu BOHRs Zeit war diese Aussage jedoch spektakulär, da nach klassischer Sicht die emittierte Strahlung stets gleich der Frequenz des umlaufenden Elektrons war. EINSTEIN sagte, nachdem dieses Postulat bestätigt schien: "Das ist eine der größten Erfindungen".

3. Postulat (Quantenbedingung):

Der Umlauf der Elektronen erfolgt nur auf bestimmten diskreten Bahnen. Auf diesen Bahnen wird keine Energie abgestrahlt. Die Bahnen müssen die folgende Quantenbedingung erfüllen:\[{m_e} \cdot {r_n} \cdot {v_n} = \frac{{n \cdot h}}{{2 \cdot \pi }}\]

Quantisierungsbedingungen im BOHRschen Atommodell

Quantenbedingung durch Bahnen im Bohrschen Atommodell
Abb. 2 Grafische Darstellung der BOHRschen Quantisierungsbedingung
  • Durch eine kleine Umformung der Quantenbedingung kann man zeigen, dass der Umfang \(u_n\) einer BOHRschen Bahn ein ganzzahliges Vielfaches der de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{db}}\) des Elektrons auf dieser Bahn ist.

\[2 \cdot \pi \cdot {r_n} = n \cdot \frac{h}{{{m_e} \cdot {v_n}}}\quad \Rightarrow \quad {u_n} = n \cdot {\lambda _{\rm{db}}}\]

Diese Vorstellung sollte man als Merkregel, aber nicht als echte Begründung der Quantenbedingung ansehen. Sie ist in sich widersprüchlich, da sie das klassische Teilchenbild (Bahn mit festem Radius und definierter Geschwindigkeit) mit dem Bild der de-Broglie-Welle verknüpft. Eine Veranschaulichung dieser Merkregel findest du in Abb. 2 und in dem Applet von Walter Fendt, wenn Sie den Knopf "Wellenbild" drücken.

  • Eine andere "schnellere" Merkregel besagt: Durch das 3. Postulat wird der Drehimpuls gequantelt.
    Der Drehimpuls für eine Punktmasse ergibt sich aus dem linearen Impuls \(m_e\cdot v_n\) indem man diesen mit dem Radius multipliziert: \(\text{Drehimpuls}=m_e\cdot r_n \cdot v_n\).
    Der Drehimpuls ist ein natürliches Vielfaches des in der theoretischen Physik verwendeten Quantums \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\).
  • Wenn Sie an der in der Schule üblichen Rechnung interessiert sind, die aus den Postulaten zu den oben beschriebenen Erfolgen führt, dann gehen Sie zum Artikel über die Energiestufen im BOHRschen Atommodell (Link am Ende dieses Artikels). Dort finden Experten auch die ursprüngliche Vorgehensweise von Bohr, die wir als "Bohrsche Methode" bezeichnen.)

Erfolge des BOHRschen Atommodells

  • Die drei bis zum Jahre 1913 empirisch gefundenen Serienformeln für Wasserstoff (BALMER-, LYMAN- und PASCHEN-Serie) können erklärt werden.
  • Weitere Serien im Infrarot-Bereich können vorhergesagt werden.
  • Die RYDBERG-Konstante \(R\) und die Ionisierungsenergie von Wasserstoff, werden auf bekannte Naturkonstanten zurückgeführt.
  • Der Atomradius ergibt sich in der richtigen Größenordnung

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