Beschreibe anhand einer beschrifteten Skizze das Prinzip der von RUTHERFORD durchgeführten Streuversuche an Goldfolien. (6 BE)
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze der Ablenkwinkel
Bei einer Rechnersimulation des RUTHERFORDschen Streuversuchs (vgl. Abbildung) werden α-Teilchen einer gegebenen kinetischen Energie \({W_{{\rm{kin}}}}\) parallel auf eine positive punktförmige Ladung der Größe \(Z \cdot e\) geschossen. Teilchen mit Abständen zwischen \(d\) und \(d + \Delta d\) (vgl. Skizze) werden in den Bereich zwischen \(\Theta\) und \(\Theta + \Delta \Theta \) abgelenkt.
Begründe mit Hilfe der Abbildung, warum unter großen Ablenkwinkeln \(\Theta\) nur relativ wenige α-Teilchen auftreten. (6 BE)
c)
Berechne, wie nahe ein als punktförmig angenommenes α-Teilchen an einen Goldkern herankommen kann, wenn es aus einem Zerfall von \({}^{226}{\rm{Ra}}\) (Kernmasse \(225,9771309\rm{u}\)) in \({}^{222}{\rm{Rn}}\) (Kernmasse \(221,9703959\rm{u}\)) stammt. (Die Energie des Rückstoßkerns ist vernachlässigbar.) (10 BE)
d)
Schätze den Goldkernradius ab.
Kläre, ob beim Streuexperiment von Teilaufgabe c) Kernreaktionen auftreten können. (7 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Lösung
Eine sehr dünne Goldfolie G wird mit \(\alpha\)-Teilchen eines radioaktiven Präparates P beschossen. Um die Goldfolie herum ist ein Szintillationsschirm S drehbar angeordnet. Dieser Szintillationsschirm wiederum kann in jeder Stellung mit einem Mikroskop betrachtet werden. Die Anordnung erlaubt es, die Winkelverteilung der an der Goldfolie gestreuten \(\alpha\)-Teilchen zu untersuchen.
Es lässt sich beobachten, dass die meisten \(\alpha\)-Teilchen die Goldfolie unabgelenkt durchdringen. Die Zahl der \(\alpha\)-Teilchen, die gestreut werden, sinkt mit steigendem Ablenkwinkel, d.h. nur sehr wenige \(\alpha\)-Teilchen werden unter einem großen Streuwinkel beobachtet.
b)
Die Abbildung zeigt beispielhaft drei Strahlungsbereiche mit unterschiedlichem \(d\), aber jeweils der gleichen Breite \(\Delta d\). Wenn man davon ausgeht, dass die Strahlung des Präparates gleichmäßig verteilt auf die Goldfolie trifft, so befinden sich wegen des gleichen \(\Delta d\) in den drei Strahlungsbereichen jeweils gleich viele \(\alpha\)-Teilchen. Die Abbildung zeigt weiter, dass mit größer werdendem \(d\) die Strahlungsbereiche nach der Streuung an der Goldfolie immer größer werden, sich also \(\Delta \Theta \) vergrößert. Für große Streuwinkel \(\Theta \) findet man also nur noch wenige \(\alpha\)-Teilchen auf dem Szintillationsschirm.
c)
Die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}}\) der \(\alpha\)-Teilchen ist gleich der Energie \(\Delta E\), die aufgrund des Massendefekts beim angegebeben radioaktiven Zerfall des Radiums frei wird. Man erhält\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {_{86}^{222}{\rm{Rn}}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {_{88}^{226}{\rm{Ra}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_{86}^{222}{\rm{Rn}}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {225,9771309{\rm{u}} - 221,9703959{\rm{u}} - 4,0015064{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,0052286 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0,0052286 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 4,87{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Mit dieser kinetischen Energie muss nun das \(\alpha\)-Teilchen das COULOMB-Potenzial zwischen \(\alpha\)-Teilchen und Gold-Kern überwinden. Für dieses Potenzial gilt \[{W_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_{{\rm{Kern}}{\rm{,}}\alpha }} \cdot {Q_{{\rm{Kern}}{\rm{,Au}}}}}}{r}\]und aufgrund der Energieerhaltung\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_{{\rm{Kern}}{\rm{,}}\alpha }} \cdot {Q_{{\rm{Kern}}{\rm{,Au}}}}}}{{{r_{\min }}}}\]Auflösen dieser Gleichung nach \(r_{\rm{min}}\) ergibt\[{r_{\min }} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_{{\rm{Kern}}{\rm{,}}\alpha }} \cdot {Q_{{\rm{Kern}}{\rm{,Au}}}}}}{{{E_{{\rm{kin}}}}}}\]und Einsetzen der gegebenen Werte und der Ordnungszahl \(79\) für Gold ergibt\[{r_{\min }} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} \cdot \frac{{2 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 79 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{4,87 \cdot {{10}^6} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}} = 4,67 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{m}}\]
d)
Die übliche Abschätzung des Kernradius durch \({r_{\rm{K}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A}\) liefert für Gold mit \(A=197\)\[{r_{\rm{K}}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{197}} = 0,81 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{m}}\]Da dieser Radius sehr viel kleiner als der minimale Abstand \(r_{\min }\)naus Aufgabenteli c) ist, kommen die \(\alpha\)-Teilchen also nicht in den Bereich des Gold-Kerns, so dass keine Kernreaktion möglich ist.
