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Aufgabe

RUTHERFORD'scher Streuversuch (Abitur BY 2001 LK A3-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Aufgrund der Ergebnisse seiner Streuexperimente stellte RUTHERFORD 1911 ein neues Atommodell vor und leitete auf dieser Grundlage eine Streuformel her.

a)Erläutern Sie anhand einer beschrifteten Skizze Aufbau und Durchführung des Streuexperiments von RUTHERFORD. (5 BE)

b)Beschreiben Sie die wesentlichen Ergebnisse des Streuexperiments und erläutern Sie, welche Folgerungen RUTHERFORD für den Atombau ziehen konnte. (6 BE)

Bei seiner Herleitung betrachtete RUTHERFORD die Ablenkung eines gestreuten Teilchens B im Coulombfeld des ortsfesten Teilchens A (siehe Skizze). Für den Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel \(\vartheta \) und dem Stoßparameter \(b\) ergibt sich \[\tan{\left(\frac{\vartheta}{2}\right)} = \frac{a}{2b}\] Dabei ist \(a\) der von der kinetischen Energie des einfallenden Teilchens abhängige minimale Abstand zwischen B und A bei einem geraden zentralen Stoß (\(b = 0\)).

c)Übertragen Sie die Abbildung auf Ihr Blatt und zeichnen Sie zusätzlich qualitativ die Bahnen und die Streuwinkel von Teilchen mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit \(v\) aber größerem bzw. kleinerem Stoßparameter \(b_1 > b_2\) bzw. \(b_2 < b\) ein. (4 BE)

Ein α-Teilchen der kinetischen Energie \(5,49{\rm{MeV}}\) wird an einem \({}^{107}{\rm{Ag}}\)-Kern gestreut. Der Rückstoß des Silberkerns soll vernachlässigt werden.

d)Berechnen Sie, für welchen Wert des Stoßparameters \(b\) der Streuwinkel \(\vartheta  = 60^\circ \) beträgt. (7 BE)

e)Bei großen Streuwinkeln ergeben sich Abweichungen von der Streuformel, wenn die kinetische Energie der einfallenden Teilchen einen Wert \(E_{\rm{m}}\) überschreitet.

Erklären Sie diese Abweichungen und berechnen Sie \(E_{\rm{m}}\) in \({\rm{MeV}}\) für die Rückstreuung (\(\vartheta  = 180^\circ \)) von α-Teilchen an \({}^{107}{\rm{Ag}}\)-Kernen. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)RUTHERFORD (bzw. seine Assistenten GEIGER und MARSDEN) beschossen eine dünne Goldfolie mit α-Teilchen und untersuchten mittels Szintillationsschicht und Mikroskop die Häufigkeit der gestreuten Teilchen in Abhängigkeit vom Streuwinkel \(\vartheta \).

b)Die meisten α-Teilchen gingen unabgelenkt hindurch, wenige α-Teilchen wurden um einen geringen Winkel abgelenkt und eine sehr kleine aber gut messbare Zahl wurde um große Winkel (größer als \(90^\circ \) gestreut. Die Häufigkeit in Abhängigkeit vom Streuwinkel stimmte mit der Häufigkeit überein, die man erhalten würde wenn man den Kern als punktförmig mit der gesamten Ladung annimt und die Ablenkung nur auf Grund von Coulombkräften und ansonsten statistischen Vorgaben erhalten würde.

c) 

d)Zunächst berechnet man, wie weit (\(a\)) sich das Teilchen bei zentralem Stoß dem Silberkern nähert. Dazu ermittelt man die Hubarbeit, die das α-Teilchen an sich auf Grund seiner kinetischen Energie im Coulombfeld des Silber-Atomkerns verrichtet:\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{47e \cdot 2e}}{a} \Leftrightarrow a = \frac{{47e \cdot 2e}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}} \Rightarrow a = \frac{{47 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 2 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot 5,49 \cdot {{10}^6} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}} = 2,5 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{m}}\]Damit ergibt sich\[{\rm{tan}}\left( {\frac{\vartheta }{2}} \right) = \frac{a}{{2 \cdot b}} \Leftrightarrow b = \frac{a}{{{\rm{2}} \cdot {\rm{tan}}\left( {\frac{\vartheta }{2}} \right)}} \Rightarrow b = \frac{{2,5 \cdot {{10}^{ - 14}}{\rm{m}}}}{{{\rm{2}} \cdot {\rm{tan}}\left( {\frac{{60^\circ }}{2}} \right)}} = 2,2 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{m}}\]

e)Die Abweichungen ergeben sich dann, wenn das Alphateilchen so nahe an den Kern kommt, dass die Kernkräfte zu wirken beginnen. Dies ist dann der Fall, wenn \(a\) den Kernradius erreicht.\[{r_{\rm{A}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A} \Rightarrow {r_{{}^{107}{\rm{Ag}}}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{107}} = 6,6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]Damit ergibt sich\[{E_{\rm{m}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{47e \cdot 2e}}{{{r_{{}^{107}{\rm{Ag}}}}}} = \frac{{47 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 2 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot 6,6 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{J}} = 20{\rm{MeV}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe