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Aufgabe

RUTHERFORD-Streuung (Abitur BY 2006 LK A3-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Zur Untersuchung der Atomstruktur hat RUTHERFORD eine Goldfolie mit α-Teilchen beschossen.

a)Skizziere den prinzipiellen Versuchsaufbau RUTHERFORDs.

Beschreibe knapp die Durchführung.

Nenne die wesentlichen Aussagen des RUTHERFORDschen Atommodells.

Erläutere, aus welchen experimentellen Beobachtungen sie abgeleitet werden. (9 BE)

Die Geschwindigkeit der α-Teilchen soll mit Hilfe eines Geschwindigkeitsfilters (WIEN-Filter) bestimmt werden.

b) Beschreibe und skizziere eine geeignete Anordnung.

Gib eine Möglichkeit für die Ausrichtung der Felder an.

Leite einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und den Messgrößen her. (5 BE)

Eine Goldfolie der Fläche \({A_{\rm{F}}} = 0,26{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) besitzt die Dicke \(d = 4 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\). Der Kernradius eines Goldatoms beträgt \({r_{{\rm{Kern}}}} = 8,1 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\).

c)Berechne die Anzahl \(N\) der in der Folie enthaltenen Goldatome.

Berechne nun die gesamte Querschnittsfläche \({A_{{\rm{ges}}}}\) aller Goldkerne der Folie.

Begründe, dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein α-Teilchen mehrmals um große Winkel abgelenkt wird. (7 BE)

 

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)RUTHERFORD bestrahlte eine Goldfolie mit α-Teilchen aus einem Präparat und untersuchte in Abhängigkeit vom Ablenkwinkel \(\varphi \) die Anzahl der Alphateilchen mittels einer Registrieranordnung (Er selbst benutzte eine Szintillator mit nachgeschaltetem Beobachtungsmikroskop. Heute würde man ein Zählrohr verwenden.)

Er stellte fest, dass fast alle Teilchen nahezu unabgelenkt hindurchkamen und einige um kleine, aber auch einige um sehr große (größer \(90^\circ \)) Winkel abgelenkt werden. Die Ablenkverteilung entsprach den Wahrscheinlichkeiten bei einer Ablenkung an einer punktförmigen schweren Ladung bei Gültigkeit des COULOMBschen Kraftgesetzes.

Nach dem Modell von RUTHERFORD sitzt nahezu die gesamte Masse im Kern, der die gesamte positive Ladung besitzt und sehr klein ist. (ca. \({10^{ - 14}}{\rm{m}}\)). Um den Kern bewegen sich auf Kreisbahnen die Elektronen im leeren Raum und gleichen so die Ladung aus. Als Zentralkraft wirkt die COULOMB-Kraft.

b)Ein WIEN-Filter besteht aus einem elektrischen Feld (Kondensator mit Spannung \(U\) und Plattenabstand \(d\)) und einem senkrecht dazu ausgerichteten magnetischen Feld (z.B. erzeugt durch eine stromdurchflossene Spule). \(E\)-Feld und \(B\)-Feld stehen senkrecht auf der Geschwindigkeit \(v\), so dass die elektrische Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot E = q \cdot \frac{U}{d}\) entgegengesetzt der magnetischen Kraft \({F_{{\rm{mag}}}} = {\rm{ }}q \cdot v \cdot B\) wirkt und die beiden Kräfte betraglich gleich sind. (Richtungen siehe Skizze). Daraus ergibt sich\[{F_{{\rm{el}}}} = {F_{{\rm{mag}}}} \Leftrightarrow q \cdot \frac{U}{d} = q \cdot v \cdot B \Leftrightarrow v = \frac{U}{{B \cdot d}}\]

c)Aus den Werten \({A_{\rm{F}}} = 0,26{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) ; \(d = 4 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{cm}}\) ; \({r_{{\rm{Kern}}}} = 8,1 \cdot {10^{ - 13}}{\rm{cm}}\) ; \({\rho _{{\rm{Au}}}} = 19,3\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) ergibt sich\[{m_{{\rm{ges}}}} = {\rho _{{\rm{Au}}}} \cdot {A_{\rm{F}}} \cdot d \Rightarrow {m_{{\rm{ges}}}} = 19,3\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 0,26{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \cdot 4,0 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{cm}} = 2,0 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{g}}\]\[N = \frac{{{m_{{\rm{ges}}}}}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {{\rm{Au}}} \right)}} \Rightarrow N = \frac{{2,0 \cdot {{10}^{ - 4}}{\rm{g}}}}{{196,97 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} = 6,1 \cdot {10^{17}}\]\[{A_{{\rm{ges}}}} = N \cdot {r_{{\rm{Kern}}}}^2 \cdot \pi  \Rightarrow {A_{{\rm{ges}}}} = 6,1 \cdot {10^{17}} \cdot {\left( {8,1 \cdot {{10}^{ - 13}}{\rm{cm}}} \right)^2} \cdot \pi  = 1,3 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]Die Gesamtfläche aller Goldkerne ist wesentlich kleiner als die Fläche der Folie.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein α-Teilchen auf einen Goldkern trifft (etwa gleichzusetzen mit großer Ablenkung) ist mit \(\frac{{1,3 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}}{{0,26{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}} = 5,0 \cdot {10^{ - 6}}\) sehr gering. Die Wahrscheinlichkeit, dass es zweimal trifft (also zweimal eine große Ablenkung erfährt) ist das Quadrat davon, also mit \(2,5 \cdot {10^{ - 11}}\) sehr klein.

Anmerkung: Das Ausrechnen der Wahrscheinlichkeiten ist nicht verlangt.

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