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Aufgabe

Abschätzung der Atomgröße (Abitur BY 2007 GK A3-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei der Durchführung des sogenannten Ölfleckversuchs verwendet man ein Gemisch aus Ölsäure (C17H33COOH) und Leichtbenzin, wobei der Volumenanteil der Ölsäure \(\frac{1}{{2000}}\) am Gemisch beträgt. Zunächst entnimmt man einer zylinderförmigen Pipette mit \(1{,}5\,\rm{cm}\) Innen­durchmesser \(25\) Tropfen des Gemisches. Dabei nimmt der Flüssigkeitsstand in der Pipette um \(4{,}8\,\rm{mm}\) ab. Anschließend wird ein solcher Tropfen auf eine mit Bärlappsporen bestäubte Wasseroberfläche gebracht, wobei das Benzin verdunstet und sich ein annähernd kreisförmiger Ölsäurefleck mit einem Durchmesser von \(15\,\rm{cm}\) cm bildet.

a)Berechne die Dicke \(d\) des Ölsäureflecks. [zur Kontrolle: \(d = 9{,}6 \cdot {10^{-10}}{\rm{m}}\)] (7 BE)

b)Schätze den mittleren Radius eines Atoms im Ölsäuremolekül ab.

Gib die bei der Rechnung verwendeten vereinfachenden Annahmen an. (7 BE)

c)Nimm zu den folgenden Aussagen über den Ölfleckversuch begründet Stellung:

•  Verwendet man statt Ölsäure eine andere Substanz, die sich ebenfalls monomolekular auf Wasser ausbreitet, erhält man möglicherweise einen anderen Wert für den Atomradius.

•  Führt man das Experiment in gleicher Weise, aber mit kleineren Tropfen durch, erhält man einen deutlich anderen Wert für den Atomradius.

•  Der Ölfleckversuch liefert eine gute Abschätzung für den Radius eines Atoms, erlaubt aber keine Rückschlüsse auf die Größenordnung des Atomkerns. (6 BE)

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a)Um die Dicke \(d\) des Ölsäureflecks zu erhalten, muss man zunächst das Volumen der reinen Ölsäure in einem Tropfen bestimmen. In der zylindrischen Pipette vom Durchmesser\[2 \cdot {r_{\rm{P}}} = 1{,}5\,{\rm{cm}}\]nimmt der Flüssigkeitsstand des Gemisches um \(h = 4{,}8\,\rm{mm}\) ab, also ist das Gemischvolumen gerade\[{V_{\rm{G}}} = A \cdot h = \pi  \cdot r_{\rm{P}}^2 \cdot h\]In einem Tropfen ist davon nach dem Verdunsten des Benzins noch die reine Ölsäure mit dem Volumen\[{V_{\rm{Ö}}} = \frac{1}{{25}} \cdot \frac{1}{{2000}} \cdot {V_{\rm{G}}} = \frac{1}{{25}} \cdot \frac{1}{{2000}} \cdot \pi  \cdot r_{\rm{P}}^2 \cdot h\]übrig, das sich als kreisrunder Fleck mit dem Radius \({r_{\rm{Ö}}} = 7{,}5\,{\rm{cm}}\) wieder zylindrisch auf dem Wasser ausbreitet. Damit ergibt sich wegen\[\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2000} \cdot \pi  \cdot r_{\rm{P}}^2 \cdot h = \pi  \cdot r_{\rm{Ö}}^2 \cdot d \Leftrightarrow d = \frac{r_{\rm{P}}^2 \cdot h}{25 \cdot 2000 \cdot r_{\rm{Ö}}^2}\]nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[d = \frac{{{{\left( {0,75{\rm{cm}}} \right)}^2} \cdot 4,8 \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{25 \cdot 2000 \cdot {{\left( {7,5{\rm{cm}}} \right)}^2}}} = 9,6 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

b)Die Ölsäure hat die chemische Formel C17H33COOH und besteht damit aus 54 Atomen. Nimmt man nun an, dass alle diese Atome gleich groß und sowohl Atome als auch Molekül würfelförmig sind (Kantenlänge dAtom bzw. dMol), dann gilt zunächst\[{V_{\rm{M}}} = 54 \cdot {V_{\rm{A}}}\]und damit\[{V_{\rm{M}}} = 54 \cdot {V_{\rm{A}}} \Leftrightarrow d_{\rm{M}}^3 = 54 \cdot d_{\rm{A}}^3 \Rightarrow {d_{\rm{A}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{54}}}} \cdot {d_{\rm{M}}}\]Bei einer Schicht mit nur einem Moleküldurchmesser als Dicke (\({d_{\rm{M}}} = d\)) folgt dann\[{r_{\rm{A}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{54}}}} \cdot d = 1,3 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

c)Die erste Aussage ist richtig: Die Annahmen der gleich großen Atome und der Würfelform von Atom und Molekül nähern die tatsächlichen Verhältnisse bei verschiedenen Substanzen nur verschieden gut an.

Die zweite Aussage ist falsch: Kleinere Tropfen verändern in der Folge nur den Durchmesser des Ölflecks, für eine Dickenänderung gibt es keinen Anlass.

Die dritte Aussage ist richtig: Für die Atomgröße ist die Ausdehnung der Atomhülle entscheidend. Die Kerngröße spielt hierfür keine Rolle, deshalb lässt der Versuch mit dem Ölfleck auch keine Rückschlüsse auf den Kerndurchmesser zu.

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