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Grundwissen

Zweites KEPLERsches Gesetz (Fortführung)

Abb. 1 Zweites KEPLERsches Gesetz: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen

Wie du aus der Mechanik weißt, besagt das zweite KEPLERsche Gesetz, dass ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleich große Flächen überstreicht.

Das zweite KEPLERsche Gesetz ergibt sich aus der Tatsache, dass die Gravitationskraft auf der Verbindungslinie von Zentralkörper und Trabant wirkt und aus der Drehimpulserhaltung, einem der Erhaltungssätze der Mechanik.

fahrstrahl_planeten_gru_e_0.gif Joachim Herz Stiftung

Bewegt sich der Planet in der Zeit \(\Delta t\) weiter, so überstreicht der Fahrstrahl \(r\) von seinem Ort \(r_1\) bis zu seinem Ort \(r_2\) eine kleine Fläche A, die für hinreichend kleine \(\Delta t\) die Form eines Dreiecks besitzt, das von \(r_1\), \(r_2\) und einem Wegstück \(s = v\cdot \Delta t\) begrenzt ist.

flaechenelement_planeten_gru_e_0.gif Joachim Herz Stiftung
Für die Fläche A gilt:

\({\rm A} = \frac{1}{2}\cdot r\cdot h\) ist konstant mit \(h = {\rm sin}\left(\alpha\right)\cdot v\cdot \Delta t\), wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor ist.

Es folgt \( {\rm A} = \frac{1}{2}\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right)\cdot v\cdot \Delta t = {\rm konst.}\).

Da \(\frac{1}{2}\) und \(\Delta t\) gleich bleiben, ergibt sich \( {\rm A} = r \cdot v\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) = {\rm konst.}\).

Das Geschwindigkeitsverhältnis von Aphel zu Perihel

 

Das Produkt \(r\cdot v\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) \) ist also überall gleich groß: Daraus ergibt sich für die beiden Punkte an denen \(\alpha = 90°\) und damit \({\rm sin}\left(\alpha\right) =1\) ist, also im Aphel und im Perihel, eine sehr einfache Beziehung:

\[r_{\rm{Aphel}}\cdot v_{\rm{Aphel}} = r_{\rm{Perihel}}\cdot v_{\rm{Perihel}} \geq \left(a+e\right)\cdot v_{\rm{Aphel}} = \left(a-e\right)\cdot v_{\rm{Perihel}}\]

Das 2. Keplersche Gesetz folgt direkt aus dem Drehimpulserhaltungssatz

Zentralkörper und Planet sind ein abgeschlossenes System, in dem sich der Drehimpuls nicht ändern darf. Ist der Körper weit weg vom Drehpunkt, so hat er geringe Geschwindigkeit, ist er näher an ihm hat er große Geschwindigkeit.
Der Drehimpulssatz ist auch dafür verantwortlich, dass eine Eiskunstläuferin bei der Pirouette mit weit ausgestreckten Armen langsam dreht und mit an den Körper angelegten Armen schnell dreht.

dreieck1_planeten_gru_e_0.gif Joachim Herz Stiftung
Kurze Erklärung der Begriffe Impuls und Drehimpuls

Impuls = Masse · Geschwindigkeit: \(p = m\cdot v\)

Rotiert ein Körper um einen Drehpunkt \(S\) so ist der
Drehimpuls = Impuls · Hebelarm: \(L = p\cdot l\)

wobei der Hebelarm l das Lot vom Drehpunkt auf den Geschwindigkeitsvektor ist

\[L=m\cdot v\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right)\]

Der Drehimpulserhaltungssatz besagt: \(m\cdot v\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) = {\rm konstant}\)

Wegen der konstanten Masse folgt \( v\cdot r\cdot {\rm sin}\left(\alpha\right) = {\rm konstant}\). Dies entspricht der Konstanz der überstrichenen Flächen im zweiten KEPLERschen Gesetz.